مقدمة في الحلول الأساسية في الهندسة

إذا كنت مهندسًا أو طالبًا في الهندسة ، فقد تعرف معنى التحسين.

للحصول على أفضل نتيجة ممكنة ، من المهم إيجاد أفضل طريقة للقيام بالأشياء.

في البرمجة الخطية ، يمكنك استخدام حل أساسي للعثور على أفضل حل.

ولكن ما هو الحل الأساسي ، ولماذا من المهم جدًا أن يعرفه المهندسون؟ في هذا المقال ، سأتحدث عن الحلول الأساسية ، وسبب أهميتها في الهندسة ، وكيف يمكن استخدامها للحصول على أفضل النتائج في المواقف المختلفة.

لذا اربط حزام الأمان واستعد للغوص في عالم الحلول الأساسية ، حيث سأحلل الألغاز وأظهر لك مدى قوة هذه التقنية.

الحلول الأساسية في البرمجة الخطية

تعريف رسمي:

يتم الحصول على حل لنموذج برنامج خطي يتكون من معادلات m في متغيرات n عن طريق حل متغيرات m من حيث المتغيرات (nm) المتبقية وتعيين المتغيرات (nm) مساوية للصفر.

الحل الأساسي في البرمجة الخطية هو طريقة لحل مشكلة البرمجة الخطية التي تلبي متطلبات فنية معينة.

على وجه الخصوص ، المتجه x هو الحل الأساسي لمتعدد الوجوه إذا كانت المتجهات {ai: xi = 0} مستقلة خطيًا.

هذا يعني أن أعمدة A التي تحتوي على متغيرات xi غير الصفر مستقلة خطيًا.

الحل الأساسي مع المكونات غير السلبية يسمى الحل العملي الأساسي (BFS) (BFS).

يفي BFS بجميع القواعد التي تحدد متعدد السطوح.

كل BFS هو ركن من متعدد الوجوه للحلول الممكنة من وجهة نظر هندسية.

للعثور على حل أساسي ، يجب عليك تعيين متغيرات nm غير الأساسية إلى الصفر وحل متغيرات m الأساسية.

من الممكن أن تؤدي القواعد المختلفة إلى نفس الحل الأساسي ، مما يعني أنه قد يكون هناك أكثر من طريقة لحل نفس المشكلة.

طريقة Simplex هي عملية تكرارية تنتقل من BFS إلى BFS التالي حتى تعثر على أفضل BFS.

بعد استخدام طريقة simplex للعثور على BFS ، يمكننا معرفة ما إذا كان الحل هو الأفضل من خلال معرفة ما إذا كانت أي BFS أخرى قريبة تعطي قيمة أفضل لوظيفة الهدف.

إذا لم يكن هناك BFS ، فإن BFS الحالي هو الأفضل.

نموذج البرمجة الخطية

يشتمل نموذج البرمجة الخطية على ثلاثة مكونات رئيسية: متغيرات القرار ، والوظيفة الموضوعية ، والقيود.

يجب أن تكون كل من الوظيفة الموضوعية والقيود دالات خطية ، ويجب أن تكون متغيرات القرار مستمرة.

تُستخدم وظيفة الهدف إما لزيادة أو إنقاص الرقم الذي يمثل الربح والتكلفة وعدد المنتجات المصنوعة ، إلخ.

القيود هي حدود أو قيود على المبلغ الإجمالي لمورد معين مطلوب للقيام بالمهام التي ستحدد مستوى النجاح في متغيرات القرار.

بالإضافة إلى ذلك ، تتطلب بعض البرامج الخطية أن تكون جميع متغيرات القرار غير سالبة.

في نماذج البرمجة الخطية ، يمكنك أيضًا استخدام المتغيرات الصحيحة والثنائية.

يمكن أن تحتوي المتغيرات الثنائية على قيمة 0 أو 1 فقط ، لذلك يمكن أن يكون لها قيمة 0 أو 1 فقط.

طريقة Simplex

واحدة من أكثر الطرق استخدامًا لحل مشاكل البرمجة الخطية هي طريقة Simplex.

تعتبر الحلول الأساسية مهمة في طريقة simplex لأنها تتوافق مع نقاط الزاوية للمنطقة الممكنة ، وتتحرك طريقة simplex من زاوية إلى أخرى حتى يتم العثور على الحل الأمثل.

طريقة simplex هي طريقة سريعة للعثور على أفضل إجابة لمشكلة البرمجة الخطية باستخدام خصائص الحلول الأساسية.

لاستخدام طريقة simplex للعثور على أفضل BFS ، نحتاج إلى إيجاد الأساس B لمصفوفة القيد A وحل النظام Ax = b مع ضبط جميع المتغيرات بخلاف الأساس على الصفر.

تشكل القيم الناتجة للمتغيرات الأساسية BFS.

إذا كان هناك حل أمثل ، فهناك BFS الأمثل.

تنتقل طريقة Simplex من BFS إلى BFS المجاور حتى تصل إلى BFS الأمثل باستخدام الإجراءات المحورية.

مقارنة بين الحلول الأساسية والحلول المجدية

الفرق بين الحل الأساسي والحل الممكن هو أن الحل الأساسي لا يجب أن يفي بأي شروط.

على وجه الخصوص ، يجب أن تحتوي على متجهات مستقلة خطيًا ولها قيم غير صفرية لـ xi ، ويجب أن تكون x أقل من 0.

من ناحية أخرى ، الحل العملي هو أي نقطة تتناسب مع حدود المشكلة.

ولكن ليست كل الحلول الممكنة حلولاً أساسية ممكنة.

الحلول الأساسية المجدية (BFSs) هي فقط تلك التي تتطابق مع زوايا متعدد الوجوه للحلول الممكنة.

العودة إلى الأساسيات: إطلاق العنان لقوة الحلول الأساسية في الهندسة

ما زال من الصعب فهمها؟ اسمحوا لي أن أغير وجهة النظر قليلاً:

هل سئمت من استخدام طرق وخوارزميات معقدة لحل المشكلات الصعبة؟ هل ترغب في وجود طريقة أبسط وأكثر وضوحًا للتعامل مع مشكلات نموذج البرنامج الخطي؟

حسنًا ، لا تقلق ، لأن الإجابة هنا: حل المتغيرات m بدلالة المتغيرات المتبقية (nm) ، واضبط المتغيرات (nm) على صفر.

من الذي يحتاج إلى خوارزميات تبدو خيالية عندما يمكنك العودة إلى الأساسيات؟ لذا ضع الآلات الحاسبة بعيدًا ودعنا نبدأ في التعرف على الحلول البسيطة.

حسنًا ، كانت هذه مجرد مزحة لتبدو وكأنها إعلان تلفزيوني.

الآن دعنا نعود إلى الشرح.

البرمجة الخطية للحل الأساسي

نصيحة: قم بتشغيل زر التسمية التوضيحية إذا كنت بحاجة إليه. اختر "ترجمة آلية" في زر الإعدادات ، إذا لم تكن معتادًا على اللغة المنطوقة. قد تحتاج إلى النقر فوق لغة الفيديو أولاً قبل أن تصبح لغتك المفضلة متاحة للترجمة.

استخدم حالات

خاتمة

في الختام ، تعتبر فكرة الحل الأساسي مهمة جدًا في مجال الهندسة ويمكن استخدامها بعدة طرق مختلفة.

من خلال معرفة ما هو الحل الأساسي وماذا يفعل في البرمجة الخطية ، يمكننا تحسين الحلول وخفض التكاليف وجعلها أكثر كفاءة.

لكن من المهم أن تتذكر أن الحل الأساسي ليس حلاً واحدًا يناسب الجميع ، على الرغم من أنه أداة قوية.

للحصول على أفضل النتائج ، يجب النظر بعناية في كل مشكلة والتفكير فيها.

بصفتنا مهندسين ، نحتاج إلى الاستمرار في النظر في الكيفية التي يمكن أن تساعدنا بها الحلول الأساسية وتقنيات التحسين الأخرى في إحراز تقدم والتوصل إلى أفكار جديدة.

لذا ، دعنا ندرك قوة الحلول البسيطة ونستمر في دفع حدود ما هو ممكن باستخدام تقنيات واستراتيجيات جديدة.

الروابط والمراجع

الكتب:

• البرمجة الخطية بواسطة Vasek Chvatal
• نمذجة وحل البرمجة الخطية باستخدام R بواسطة Jose M. Sallan