فهم محور التناظر في الهندسة

ربما لم تفكر كثيرًا في محور التناظر كطالب هندسة أو مهندس.

لكن هذه الفكرة البسيطة والفعالة هي في صميم العديد من التطبيقات المهمة في مجالك ، من تصميم الجسور والمباني إلى صناعة الإلكترونيات والأجهزة الطبية المتقدمة.

إذا كنت تعرف ما هو محور التناظر وكيف يرتبط بالأشكال والوظائف الهندسية ، يمكنك فتح عالم كامل من الأفكار وطرق التفكير الجديدة.

في منشور المدونة هذا ، سأتحدث بعمق عن محور التناظر وأظهر كيف ينطبق على عملك كمهندس.

لذا استعد لرؤية العالم بطريقة جديدة تمامًا.

مقدمة إلى محور التناظر في الهندسة

تعريف رسمي:

خط وهمي يكون حوله الشكل الهندسي متماثل.

يعد محور التناظر مفهومًا مهمًا في الهندسة.

إنه جزء أساسي من صنع الأشكال والأشياء المتوازنة والتي لها تناسق.

في هذه المقالة سوف نتحدث عن ماهية محور التناظر وكيف يمكن استخدامه في الهندسة ، خاصة مع الدوال التربيعية.

تعريف محور التناظر

محور التناظر هو خط يقطع الجسم إلى نصفين بحيث يبدو كل جانب كصورة معكوسة للجانب الآخر.

إنه خط مستقيم وهمي يمر عبر منتصف شكل أو كائن ويقسمه إلى جزأين متطابقين ، أحدهما يمثل صورة معكوسة للآخر.

عندما تكون الورقة مطوية على طول محور التناظر ، فإن الجزأين يصطفان بشكل مثالي.

أهمية محور التناظر في الأشكال والوظائف الهندسية

تطبيقات محور التناظر في الأشكال الهندسية

المضلعات المنتظمة: إذا كان المضلع يحتوي على عدد n من الجوانب ، فسيكون له أيضًا عدد n من محاور التماثل.

يمكنك استخدام محاور التناظر هذه لتقسيم المضلع إلى أجزاء متطابقة ، مما يسهل معرفة خصائصه.

القطع المكافئ: في الشكل القياسي ، حيث y = ax2 + bx + c ، تكون معادلة محور التناظر هي x = -b / 2a.

تُستخدم هذه الصيغة لإيجاد إحداثي x للنقطة على محور التناظر حيث يكون رأس القطع المكافئ.

عندما يتعلق الأمر بتوضيح نقطة: يمكنك أيضًا معرفة ما إذا كان الرسم البياني متماثلًا حول نقطة ما عن طريق تدويره 180 درجة حول تلك النقطة.

إذا ظل الرسم البياني كما هو بعد الدوران ، فسيكون متماثلًا حول هذه النقطة.

باستخدام هذه الخاصية ، يمكنك إيجاد أجزاء متناظرة بأشكال ووظائف مختلفة.

تناظر الوظائف

يمكن أن تكون الدوال متماثلة حول المحور y ، مما يعني أنك إذا قلبت الرسم البياني الخاص بها حول المحور y ، فسيبدو كما هو.

يسمى هذا "التناظر الزوجي" ، ويتم استخدام الوظيفة f (-x) = f لإظهارها (x).

أيضًا ، يمكن أن تكون الدوال متماثلة حول الأصل ، مما يعني أنه إذا تم تدوير الرسم البياني بمقدار 180 درجة حول الأصل ، فسيبدو كما هو.

يسمى هذا "التناظر الفردي" ، والوظيفة التي توضح ذلك هي f (-x) = -f (x).

فهم الاختلافات بين محور التناظر للقطع المكافئ والقطع الزائد

في الرياضيات ، هناك نوعان من أكثر أنواع المقاطع المخروطية شيوعًا وهما القطع المكافئ والقطوع الزائدة.

على الرغم من أن كلا الشكلين لهما محور التناظر الخاص بهما ، إلا أنهما ليسا متماثلين في نواح كثيرة.

محور تناظر القطع المكافئ

محور التناظر للقطع المكافئ هو خط يمر عبر البؤرة ويوازي الدليل.

يحتوي القطع الزائد على أكثر من منحنى واحد ، لكن القطع المكافئ له منحنى واحد فقط وليس له خطوط مقاربة.

كما أنه يفتح أقل من القطع الزائد.

القطع المكافئ له قيمة غريب الأطوار 1 ، وبغض النظر عن حجمه أو صغره ، فإنه دائمًا ما يكون له نفس الشكل.

محور التناظر للقطع الزائد

بعض الخطوط التي تمر عبر مركز القطع الزائد تكون مقاربة.

على عكس القطع المكافئ ، له منحنيان يمثلان صورًا معكوسة لبعضهما البعض ويفتحان في اتجاهين متعاكسين.

مركز القطع الزائد هو النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين نقطتيها.

يسمى جزء الخط الذي يمر عبر نقاط القطع الزائد بمحوره.

محوره المقترن هو جزء من الخط الذي يمر عبر المركز ويكون عموديًا على المحور العرضي.

تشكيل القطع المكافئ والقطوع الزائدة

عندما يقطع المستوى نصفي المخروط بزاوية أكبر من ميل المخروط ، فإنه يصنع قطعًا زائدًا.

من ناحية أخرى ، يتم عمل القطع المكافئ عندما تلتقي الطائرات بمخاريط موازية لجانب واحد.

الاختلافات في الانحرافات ونقاط التركيز

الفرق الرئيسي بين القطع المكافئ والقطع الزائد هو قيمة الانحراف.

يساوي الانحراف 1 للقطوع المكافئة وأكبر من 1 للقطوع الزائدة.

يحتوي القطع الزائد على نقطتي تركيز ، واحدة على كل جانب من جوانب المركز.

القطع المكافئ له واحد فقط.

معادلة القطع المكافئ وعلاقتها بمحور التماثل

في دراسة القطع المكافئ ، يعتبر محور التناظر فكرة مهمة.

إنه خط يقسم القطع المكافئ إلى جزأين لهما نفس الحجم والشكل مثل بعضهما البعض.

محور تناظر القطع المكافئ

للقطع المكافئ محور تماثل وهو خط مستقيم يمر بنقطة القطع المكافئ.

معادلة محور التناظر هي إحداثي x للنقطة التي يلتقي فيها الخطان.

معادلة محور التناظر لوظيفة تربيعية في الشكل القياسي ، y = ax2 + bx + c ، هي x = -b / 2a.

خصائص محور التناظر

محور التناظر هو الخط الذي يقسم القطع المكافئ إلى نصفين لهما نفس الحجم والشكل مثل بعضهما البعض.

تسمى النقطة التي يلتقي فيها محور التناظر والقطع المكافئ بالرأس.

إذا انفتح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل ، فإن محور التناظر يكون عموديًا ، وتكون معادلته عبارة عن خط عمودي يمر عبر قمته.

إذا انفتح على اليسار أو اليمين ، فسيكون له محور تناظر أفقي ، ومعادلته عبارة عن خط أفقي يمر عبر نقطته.

معادلة القطع المكافئ

في الشكل القياسي ، تكون معادلة القطع المكافئ y = ax2 + bx + c.

يعتمد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل على المعامل "أ".

إذا كانت قيمة a موجبة ، يتم فتح القطع المكافئ.

إذا كانت قيمة a سالبة ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.

النقطة التي يبدأ عندها القطع المكافئ وينتهي هي (-b / 2a، c - b2 / 4a).

هذه هي النقطة التي يمر فيها محور تناظر القطع المكافئ.

كيفية إيجاد محور التناظر لوظيفة مكافئ أو تربيعي

إيجاد الرأس

تسمى النقطة التي يلتقي فيها القطع المكافئ أو الوظيفة التربيعية بمحور التناظر بالرأس.

للانتقال من النموذج القياسي إلى شكل الرأس ، يمكنك استخدام طريقة "إكمال المربع" للعثور عليه.

تبدو الدالة التربيعية كما يلي: y = ax2 + bx + c.

صيغة الرأس هي y = a (x - h) 2 + k.

اتبع هذه الخطوات للعثور على النقطة.

لإيجاد إحداثي x للرأس ، اقسم معامل الحد x (b) على 2a: h = -b / 2a.

ضع قيمة h في المعادلة الأصلية ، k = a (h) 2 + b (h) + c ، لإيجاد إحداثي y للنقطة.

إيجاد محور التناظر

بمجرد أن تعرف مكان الرأس (h ، k) ، يمكنك إيجاد معادلة محور التناظر بالتعويض عن h في الصيغة x = -b / 2a.

ستكون المعادلة هي الخط العمودي الذي يمر عبر الرأس ويقسم القطع المكافئ إلى نصفين متساويين.

العثور على الاعتراضات

إذا حللت من أجل x و y في المعادلة y = ax2 + bx + c ، يمكنك إيجاد تقاطعات القطع المكافئ أو الدالة التربيعية.

ضع y على 0 وحل من أجل x لإيجاد تقاطع x.

ضع x على 0 وحل من أجل y لإيجاد تقاطع y.

نصيحة: قم بتشغيل زر التسمية التوضيحية إذا كنت بحاجة إليه. اختر "ترجمة آلية" في زر الإعدادات ، إذا لم تكن معتادًا على اللغة الإنجليزية. قد تحتاج إلى النقر فوق لغة الفيديو أولاً قبل أن تصبح لغتك المفضلة متاحة للترجمة.

تحديد محور التناظر لوظيفة ما من رسمها البياني واستخدام الانعكاس

في الهندسة والوظائف ، يعتبر محور التناظر فكرة مهمة للغاية.

إنه خط يقسم شكلًا أو رسمًا بيانيًا إلى جزأين لهما نفس الحجم والشكل ولكنهما مختلفان.

في هذه المقالة ، سننظر في كيفية استخدام الرسم البياني للدالة وانعكاسها لإيجاد محور التناظر.

تحديد خط التماثل

يمكن إيجاد محور التناظر للدالة من خلال النظر إلى الرسم البياني الخاص بها وإيجاد خط التناظر ، وهو الخط الذي يقسم الرسم البياني إلى جزأين متماثلين ولكنهما صورتان معكوسة لبعضهما البعض.

كمثال:

• إذا كان الرسم البياني هو نفسه على جانبي المحور y ، فإن المحور y هو خط التماثل.
• إذا كان الرسم البياني هو نفسه على جانبي المحور x ، فإن المحور x هو خط التماثل.
• إذا كان الرسم البياني متماثلًا حول خط رأسي أو أفقي ليس المحور x أو المحور y ، فإن خط التناظر هو خط رأسي أو أفقي يمر عبر رأس الوظيفة.

إيجاد محور التناظر بالانعكاس

لاستخدام الانعكاس للعثور على محور تناظر الشكل ، تحتاج إلى رسم خط يقسم الشكل إلى جزئين متطابقين للصورة.

محور التناظر هو ما يسمى هذا الخط.

من المهم العثور على رأس القطع المكافئ ، وهي أدنى نقطة أو أعلى نقطة في الرسم البياني.

محور التناظر هو خط عمودي يمر عبر الرأس.

معادلة محور التناظر هي الإحداثي x للرأس.

بالنسبة للأشكال الأخرى ، مثل الدوائر أو المضلعات ، يكون محور التناظر هو الخط أو الخطوط التي تقسم الشكل إلى جزأين متماثلين.

التطبيقات الواقعية لمحور التناظر في الهندسة والتصميم

التناظر هو فكرة أساسية في الهندسة والتصميم ، ويمكن استخدامه بعدة طرق مختلفة.

بنيان

يعد التناسق مهمًا جدًا في الهندسة المعمارية ، حيث يتم استخدامه لإنشاء المباني التي تبدو جيدة وتفي بالمتطلبات الهندسية.

الهياكل المتماثلة أسهل في التخطيط والبناء والمواكبة ، ويمكنها أيضًا جعل المبنى أقوى.

غالبًا ما يستخدم المهندسون المعماريون محور التناظر لإنشاء هياكل متناظرة من خلال عكس الأشكال أو الأشكال أو الزوايا المتشابهة عبر خط مركزي أو نقطة.

أحد الأمثلة الرائعة على التناظر الانعكاسي الخالص هو شعار Airbnb.

تعد صفحة Mac على موقع Apple مثالاً رائعًا آخر على التناظر الانعكاسي.

شاشات MacBook بنفس الطول على كلا جانبي المحور الرأسي المركزي ، وخطوط الكتابة في العنوان الرئيسي والعنوان الفرعي هي أيضًا بنفس الطول على جانبي المحور.

هندسة

في الهندسة ، غالبًا ما يستخدم التناظر للتأكد من أن جزأين متشابهين من جزء ما يتم توسيطهما دائمًا ولهما نفس الشكل على طول سطحه.

على سبيل المثال ، يمكن استخدام التناظر للتأكد من أن الأخدود يتمركز في المستوى الأوسط من كتلة المزلاج.

يمكنك استخدام محور التناظر للتأكد من أن الأخدود في المكان الصحيح وله نفس الشكل على طول سطح كتلة المزلاج.

استخدامات اخرى

مستعمل في:	وصف:
إلكترونيات	يتم استخدام محور التناظر للتأكد من أن الدائرة متوازنة وتعمل بطريقة مستقرة. على سبيل المثال ، يمكن استخدام محور التناظر للتأكد من أن التيار يتدفق بالتساوي عبر دائرة إلكترونية.
الفيزياء	يستخدم محور التناظر للتحدث عن خصائص الأشياء التي تبدو متشابهة عند قلبها. على سبيل المثال ، يتم استخدام محور التناظر لوصف كيفية تحرك أشياء مثل الكواكب والنجوم والمجرات عندما تدور.
رياضيات	يستخدم محور التناظر لحل المعادلات ووصف خصائص الأشكال الهندسية. على سبيل المثال ، يتم استخدام محور التناظر للعثور على جذور المعادلات التربيعية ووصف خصائص القطع المكافئ والقطع الناقص والقطوع الزائدة.
مادة الاحياء	يستخدم محور التناظر لوصف الطريقة التي تتشابه بها الكائنات الحية على كلا الجانبين. على سبيل المثال ، تمتلك العديد من الحيوانات ، مثل الفراشات والبشر ، تناظرًا ثنائيًا ، مما يعني أن لديهم محورًا واحدًا للتماثل يقسم أجسامهم إلى نصفي صورة معكوسة.
فن	يستخدم محور التناظر في الفن لعمل قطع متوازنة ومتماثلة. على سبيل المثال ، يتم استخدام محور التناظر في الكثير من اللوحات والمنحوتات الكلاسيكية لإعطاء إحساس بالانسجام والتوازن.

خاتمة

في الختام ، قد يبدو محور التناظر وكأنه فكرة بسيطة ، لكن له تأثيرات مهمة على الهندسة والتصميم يصعب التنبؤ بها.

إذا كنت تعرف كيفية العثور على محور التناظر لشكل أو وظيفة ، يمكنك إيجاد طرق جديدة للنظر في الأشياء والتوصل إلى أفكار جديدة.

لكن محور التناظر قد يكون أكثر أهمية لأنه يذكرنا بأن التناظر والتوازن جزءان مهمان من كل شيء في الطبيعة ، من الذرات إلى المجرات.

باستخدام هذه الأفكار في عملنا كمهندسين ، يمكننا عمل تصميمات أكثر كفاءة وطويلة الأمد وجمالًا ، تمامًا مثل الكون نفسه.

لذا ، في المرة القادمة التي تعمل فيها على مشروع ما ، تذكر محور التناظر وقوة التناظر والتوازن لجعل شيء مذهل حقًا.