Lehet, hogy mérnökhallgatóként vagy mérnökként nem sokat gondolkodott a szimmetriatengelyen.
Ez az egyszerű, de erőteljes ötlet azonban számos fontos alkalmazás középpontjában áll az Ön területén, a hidak és épületek tervezésétől a fejlett elektronikai és orvosi eszközök gyártásáig.
Ha tudja, mi a szimmetriatengely, és hogyan kapcsolódik a geometriai alakzatokhoz és függvényekhez, új ötletek és gondolkodásmódok egész világát nyithatja meg.
Ebben a blogbejegyzésben részletesen beszélek a szimmetriatengelyről, és megmutatom, hogyan vonatkozik ez az Ön mérnöki munkájára.
Készüljön fel tehát arra, hogy teljesen új módon lássa a világot.
Bevezetés a szimmetria tengelyébe a geometriában
Formális meghatározás:
Egy képzeletbeli vonal, amelyre egy geometriai alak szimmetrikus.
A szimmetriatengely fontos fogalom a geometriában.
Kulcsfontosságú része a kiegyensúlyozott és szimmetrikus formák és tárgyak létrehozásának.
Ebben a cikkben arról fogunk beszélni, hogy mi a szimmetriatengely, és hogyan használható a geometriában, különösen a másodfokú függvényeknél.
A szimmetriatengely definíciója
A szimmetriatengely egy olyan vonal, amely egy tárgyat kettévág, így mindkét oldal a másik oldal tükörképének tűnik.
Ez egy képzeletbeli egyenes, amely átmegy egy alakzat vagy tárgy közepén, és két azonos részre osztja, ahol az egyik rész a másik tükörképe.
Ha a papírt a szimmetriatengely mentén összehajtjuk, a két rész tökéletesen illeszkedik egymáshoz.
A szimmetria tengelyének jelentősége a geometriai ábrákban és függvényekben
A szimmetria tengelyének alkalmazásai geometriai ábrákban
Szabályos sokszögek: Ha egy sokszögnek n oldala van, akkor n szimmetriatengelye is lesz.
Ezekkel a szimmetriatengelyekkel feloszthatja a sokszöget azonos részekre, ami megkönnyíti a tulajdonságainak kitalálását.
Parabolák: Szabványos formában, ahol y = ax2 + bx + c, a szimmetriatengely egyenlete x = -b/2a.
Ezt a képletet arra használjuk, hogy megtaláljuk a szimmetriatengely azon pontjának x-koordinátáját, ahol a parabola csúcsa van.
Ha pontozásról van szó: Azt is megtudhatja, hogy egy gráf szimmetrikus-e egy pontra, ha 180°-kal elforgatja a pont körül.
Ha a gráf az elforgatás után változatlan marad, akkor az adott pontra szimmetrikus.
Ezt a tulajdonságot használva különböző formájú és funkciójú szimmetrikus részeket találhat.
A függvények szimmetriája
A függvények lehetnek szimmetrikusak az y tengelyre, ami azt jelenti, hogy ha a grafikonjukat az y tengely körül fordítja, ugyanúgy fog kinézni.
Ezt "egyenletes szimmetriának" nevezik, és az f(-x) = f függvényt használjuk ennek megjelenítésére (x).
Ezenkívül a függvények szimmetrikusak is lehetnek az origóra, ami azt jelenti, hogy ha a gráfot 180°-kal elforgatjuk az origó körül, akkor ugyanúgy fog kinézni.
Ezt "páratlan szimmetriának" nevezik, és az ezt mutató függvény: f(-x) = -f (x).
A parabola és a hiperbola szimmetriatengelye közötti különbségek megértése
A matematikában a kúpszeletek két leggyakoribb típusa a parabola és a hiperbola.
Annak ellenére, hogy mindkét alakzatnak megvan a maga szimmetriatengelye, sok tekintetben nem ugyanaz.
Parabola szimmetria tengelye
A parabola szimmetriatengelye egy olyan egyenes, amely átmegy a fókuszon és párhuzamos az irányítóval.
A hiperbolának több görbéje van, de egy parabolának csak egy görbéje van, és nincsenek aszimptotái.
Ez is kevesebbet nyit, mint egy hiperbola.
Egy parabola excentricitási értéke 1, és nem számít, milyen nagy vagy kicsi, mindig ugyanaz az alakja.
Hiperbola szimmetriatengelye
Egyes vonalak, amelyek a hiperbola közepén mennek át, aszimptotikusak.
A parabolától eltérően két görbéje van, amelyek egymás tükörképei és ellentétes irányba nyílnak.
A hiperbola középpontja a két pontja közötti félúton lévő pont.
Az egyenesnek azt a részét, amely a hiperbola pontjain megy át, tengelyének nevezzük.
Konjugált tengelye egy egyenesnek az a része, amely átmegy a középponton és merőleges a keresztirányú tengelyre.
Parabolák és hiperbolák kialakulása
Ha egy sík a kúp mindkét felét a kúp meredekségénél nagyobb szögben metszi át, akkor hiperbolát alkot.
Másrészt parabolák keletkeznek, amikor a síkok találkoznak az egyik oldallal párhuzamos kúpokkal.
Különbségek az excentricitásban és a fókuszpontokban
A fő különbség a parabola és a hiperbola között az excentricitás értéke.
Az excentricitás 1-gyel egyenlő paraboláknál és 1-nél nagyobb hiperboláknál.
A hiperbolának két fókuszpontja van, egy-egy a középpontja mindkét oldalán.
Egy parabolának csak egy van.
Parabola egyenlete és kapcsolata a szimmetria tengelyével
A parabolák tanulmányozása során a szimmetriatengely fontos gondolat.
Ez egy olyan vonal, amely egy parabolát két, egymással azonos méretű és alakú részre oszt.
Parabola szimmetria tengelye
A parabolának van egy szimmetriatengelye, amely egy egyenes, amely átmegy a parabola pontján.
A szimmetriatengely egyenlete a két egyenes találkozási pontjának x-koordinátája.
Az y = ax2 + bx + c szabványos formájú másodfokú függvény szimmetriatengelyének egyenlete x = -b/2a.
A szimmetria tengelyének tulajdonságai
A szimmetriatengely az az egyenes, amely egy parabolát két, egymással azonos méretű és alakú félre oszt.
Azt a pontot, ahol a szimmetriatengely és a parabola találkozik, csúcsnak nevezzük.
Ha egy parabola felfelé vagy lefelé nyílik, akkor szimmetriatengelye függőleges, egyenlete pedig egy függőleges vonal, amely a csúcsán halad át.
Ha balra vagy jobbra nyílik, akkor van egy vízszintes szimmetriatengelye, és egyenlete egy vízszintes egyenes, amely átmegy a pontján.
Parabola egyenlete
Szabványos formában a parabola egyenlete y = ax2 + bx + c.
Az, hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik, az "a" együtthatótól függ.
Ha an pozitív, a parabola kinyílik.
Ha an negatív, a parabola lefelé nyílik.
Az a pont, ahol a parabola kezdődik és végződik, a (-b/2a, c - b2/4a).
Ez az a pont, ahol a parabola szimmetriatengelye átmegy.
Hogyan találjuk meg a parabola vagy másodfokú függvény szimmetriatengelyét
A Csúcs megtalálása
Azt a pontot, ahol egy parabola vagy másodfokú függvény találkozik a szimmetriatengelyével, csúcsnak nevezzük.
A szabványos űrlapról a csúcsformára való átjutáshoz használhatja a "négyzet kitöltése" módszert.
Egy másodfokú függvény így néz ki: y = ax2 + bx + c.
A csúcsforma y = a(x - h)2 + k.
Kövesse ezeket a lépéseket a lényeg megtalálásához.
A csúcs x-koordinátájának meghatározásához osszuk el a (b) x-tag együtthatóját 2a-val: h = -b/2a.
Írja be a h értékét az eredeti egyenletbe, k = a(h)2 + b(h) + c, hogy megtalálja a pont y-koordinátáját.
A szimmetria tengelyének megtalálása
Ha tudja, hogy hol van a csúcs (h, k), megtalálhatja a szimmetriatengely egyenletét, ha h-t behelyettesít az x = -b/2a képletbe.
Az egyenlet a függőleges vonal lesz, amely átmegy a csúcson, és a parabolát két egyenlő felére osztja.
Az elfogók megtalálása
Ha x-et és y-t az y = ax2 + bx + c egyenletben old meg, akkor megtalálhatja egy parabola vagy másodfokú függvény metszetét.
Állítsa y-t 0-ra, és oldja meg az x-et, hogy megtalálja az x-metszeteket.
Állítsa x-et 0-ra, és oldja meg y-t, hogy megtalálja az y-metszéspontot.
Tipp: Kapcsolja be a felirat gombot, ha szüksége van rá. Válassza az „automatikus fordítás” lehetőséget a beállítások gombban, ha nem ismeri az angol nyelvet. Előfordulhat, hogy először a videó nyelvére kell kattintania, mielőtt kedvenc nyelve elérhetővé válik a fordításhoz.
Egy függvény szimmetriatengelyének meghatározása a grafikonjából és a tükrözés használata
A geometriában és a függvényekben a szimmetriatengely nagyon fontos gondolat.
Ez egy olyan vonal, amely egy ábrát vagy grafikont két azonos méretű és alakú, de eltérő megjelenésű részre oszt fel.
Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan lehet egy függvény grafikonját és tükrözését használni a szimmetriatengelyének megtalálásához.
A szimmetriavonal azonosítása
Egy függvény szimmetriatengelyét úgy találhatjuk meg, ha megnézzük a grafikonját, és megtaláljuk a szimmetriavonalat, amely egy olyan egyenes, amely a grafikont két azonos, de egymás tükörképei részre osztja.
Mint például:
- Ha a grafikon az y tengely mindkét oldalán azonos, akkor az y tengely a szimmetriaegyenes.
- Ha a grafikon az x tengely mindkét oldalán azonos, akkor az x tengely a szimmetriavonal.
- Ha a grafikon szimmetrikus egy függőleges vagy vízszintes vonalra, amely nem az x- vagy y-tengely, akkor a szimmetriavonal egy függőleges vagy vízszintes vonal, amely átmegy a függvény csúcsán.
A szimmetria tengelyének megtalálása tükrözés segítségével
Ahhoz, hogy a tükrözés segítségével megtaláljuk egy ábra szimmetriatengelyét, meg kell húzni egy vonalat, amely az ábrát két azonos tükörképre osztja.
Ezt az egyenest szimmetriatengelynek nevezik.
Fontos megtalálni a parabola csúcsát, amely a gráf legalacsonyabb vagy legmagasabb pontja.
A szimmetriatengely egy függőleges vonal, amely átmegy a csúcson.
A szimmetriatengely egyenlete a csúcs x-koordinátája.
Más alakzatok, például körök vagy sokszögek esetében a szimmetriatengely az a vonal vagy vonalak, amelyek az alakzatot két azonos részre osztják.
A szimmetriatengely valós alkalmazásai a tervezésben és a tervezésben
A szimmetria a mérnöki és tervezési alapötlet, és nagyon sokféleképpen használható.
Építészet
A szimmetria nagyon fontos az építészetben, ahol jól néz ki és a mérnöki követelményeknek megfelelő épületeket készítenek belőle.
A szimmetrikus szerkezeteket könnyebb megtervezni, megépíteni és lépést tartani, emellett erősebbé is tehetik az épületet.
Az építészek gyakran használják a szimmetriatengelyt arra, hogy szimmetrikus szerkezeteket hozzanak létre, olyan formákat, formákat vagy szögeket tükrözve, amelyek hasonlóak egy központi vonalon vagy ponton.
A tiszta reflexiós szimmetria egyik nagyszerű példája az Airbnb logó.
Az Apple webhelyén található Mac oldal a reflexiós szimmetria másik nagyszerű példája.
A MacBook képernyői a központi függőleges tengely mindkét oldalán azonos hosszúságúak, és a címsor és az alcím betűsorai is azonos hosszúságúak a tengely mindkét oldalán.
Mérnöki
A mérnöki tudományban a szimmetriát gyakran használják annak biztosítására, hogy egy alkatrész két hasonló része mindig középpontban legyen, és a felülete végig azonos alakú legyen.
Például a szimmetria segítségével megbizonyosodhatunk arról, hogy egy horony egy reteszelőblokk középsíkjában van középen.
Használhatja a szimmetriatengelyt, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a horony a megfelelő helyen van, és a reteszblokk felületén végig azonos alakú.
Egyéb felhasználások
| Használt: | Leírás: |
|---|---|
| Elektronika | A szimmetriatengely arra szolgál, hogy megbizonyosodjon arról, hogy az áramkör kiegyensúlyozott és stabilan működik. Például a szimmetriatengely segítségével megbizonyosodhatunk arról, hogy az áram egyenletesen halad át egy elektronikus áramkörön. |
| Fizika | A szimmetriatengelyt arra használjuk, hogy olyan dolgok tulajdonságairól beszéljünk, amelyek elforgatva ugyanúgy néznek ki. Például a szimmetriatengelyt arra használják, hogy leírják, hogyan mozognak a bolygók, csillagok és galaxisok, amikor forognak. |
| Math | A szimmetriatengely egyenletek megoldására és a geometriai alakzatok tulajdonságainak leírására szolgál. Például a szimmetriatengelyt másodfokú egyenletek gyökereinek megkeresésére és a parabolák, ellipszisek és hiperbolák tulajdonságainak leírására használjuk. |
| Biológia | A szimmetriatengely annak leírására szolgál, hogy az élőlények mindkét oldalon azonosak. Például sok állatnak, például a pillangóknak és az embereknek van kétoldali szimmetriája, ami azt jelenti, hogy egyetlen szimmetriatengelyük van, amely testüket két tükörképes felére osztja. |
| Művészet | A szimmetriatengelyt a művészetben használják kiegyensúlyozott és szimmetrikus darabok készítésére. Például a szimmetriatengelyt sok klasszikus festményen és szoborban használják a harmónia és az egyensúly érzése érdekében. |
Következtetés
Összefoglalva, a szimmetriatengely egyszerű ötletnek tűnhet, de fontos, nehezen megjósolható hatásai vannak a tervezésre és a tervezésre.
Ha tudja, hogyan találja meg egy alakzat vagy függvény szimmetriatengelyét, új módokat találhat a dolgok megtekintésére és új ötletekre.
De a szimmetriatengely még fontosabb lehet, mert arra emlékeztet bennünket, hogy a szimmetria és az egyensúly mindennek fontos része a természetben, az atomoktól a galaxisokig.
Ezeket az ötleteket mérnöki munkánk során felhasználva hatékonyabb, tartósabb és szebb terveket készíthetünk, akárcsak maga az univerzum.
Tehát, amikor legközelebb egy projekten dolgozik, emlékezzen a szimmetria tengelyére, valamint a szimmetria és az egyensúly erejére, hogy valami igazán csodálatosat készítsen.
Oszd meg…
