Je hebt misschien niet veel nagedacht over de symmetrie-as als technische student of ingenieur.
Maar dit eenvoudige maar krachtige idee vormt de kern van veel belangrijke toepassingen in uw vakgebied, van het ontwerpen van bruggen en gebouwen tot het maken van geavanceerde elektronica en medische apparaten.
Als je weet wat de symmetrie-as is en hoe deze zich verhoudt tot geometrische vormen en functies, kun je een hele wereld aan nieuwe ideeën en denkwijzen openen.
In deze blogpost zal ik uitgebreid ingaan op de symmetrie-as en laten zien hoe deze van toepassing is op jouw werk als ingenieur.
Dus maak je klaar om de wereld op een geheel nieuwe manier te zien.
Inleiding tot de as van symmetrie in meetkunde
Formele definitie:
Een denkbeeldige lijn waaromheen een geometrische figuur symmetrisch is.
De symmetrieas is een belangrijk begrip in de meetkunde.
Het is een belangrijk onderdeel van het maken van vormen en objecten die gebalanceerd en symmetrisch zijn.
In dit artikel zullen we het hebben over wat de symmetrie-as is en hoe deze kan worden gebruikt in geometrie, vooral met kwadratische functies.
Definitie van de as van symmetrie
De symmetrie-as is een lijn die een object doormidden snijdt zodat elke kant eruitziet als een spiegelbeeld van de andere kant.
Het is een denkbeeldige rechte lijn die door het midden van een vorm of object gaat en deze in twee identieke delen verdeelt, waarbij het ene deel het spiegelbeeld is van het andere.
Wanneer het papier langs de symmetrieas wordt gevouwen, komen de twee delen perfect overeen.
De betekenis van symmetrieas in geometrische figuren en functies
Toepassingen van symmetrieas in geometrische figuren
Regelmatige veelhoeken: als een veelhoek n zijden heeft, heeft deze ook n symmetrieassen.
U kunt deze symmetrie-assen gebruiken om de veelhoek in identieke delen te verdelen, waardoor het gemakkelijker wordt om erachter te komen wat de eigenschappen zijn.
Parabolen: In standaardvorm, waar y = ax2 + bx + c, is de vergelijking voor de symmetrieas x = -b/2a.
Deze formule wordt gebruikt om de x-coördinaat te vinden van het punt op de symmetrieas waar de top van de parabool is.
Als het gaat om het maken van een punt: je kunt er ook achter komen of een grafiek symmetrisch is rond een punt door hem 180° rond dat punt te draaien.
Als de grafiek na de rotatie hetzelfde blijft, is hij symmetrisch rond dat punt.
Met behulp van deze eigenschap kunt u symmetrische onderdelen in verschillende vormen en functies vinden.
Symmetrie van functies
Functies kunnen symmetrisch zijn rond de y-as, wat betekent dat als u hun grafiek om de y-as draait, deze er hetzelfde uitziet.
Dit wordt "gelijkmatige symmetrie" genoemd en de functie f(-x) = f wordt gebruikt om het (x) weer te geven.
Functies kunnen ook symmetrisch zijn rond de oorsprong, wat betekent dat als de grafiek 180° rond de oorsprong wordt gedraaid, deze er hetzelfde uitziet.
Dit wordt "oneven symmetrie" genoemd en de functie die dit laat zien is f(-x) = -f (x).
De verschillen begrijpen tussen de symmetrieas van een parabool en een hyperbool
In wiskunde zijn twee van de meest voorkomende soorten kegelsneden parabolen en hyperbolen.
Hoewel beide vormen hun eigen symmetrie-as hebben, zijn ze in veel opzichten niet hetzelfde.
Symmetrieas van een parabool
De symmetrieas van een parabool is een lijn die door het brandpunt gaat en evenwijdig is aan de richtlijn.
Een hyperbool heeft meer dan één kromme, maar een parabool heeft maar één kromme en geen asymptoten.
Het opent ook minder dan een hyperbool.
Een parabool heeft een excentriciteitswaarde van 1, en hoe groot of klein hij ook is, hij heeft altijd dezelfde vorm.
Symmetrieas van een hyperbool
Sommige lijnen die door het midden van een hyperbool gaan, zijn asymptotisch.
In tegenstelling tot een parabool heeft het twee krommen die spiegelbeelden van elkaar zijn en in tegengestelde richtingen openen.
Het middelpunt van een hyperbool is het punt halverwege tussen de twee punten.
Het deel van een lijn dat door de punten van een hyperbool gaat, wordt de as genoemd.
De geconjugeerde as is het deel van een lijn dat door het middelpunt gaat en loodrecht op de dwarsas staat.
Vorming van parabolen en hyperbolen
Wanneer een vlak door beide helften van een kegel snijdt onder een hoek die groter is dan de helling van de kegel, ontstaat er een hyperbool.
Aan de andere kant worden parabolen gemaakt wanneer vlakken kegels ontmoeten die evenwijdig aan één kant zijn.
Verschillen in excentriciteit en focuspunten
Het belangrijkste verschil tussen een parabool en een hyperbool is de waarde van hun excentriciteit.
Excentriciteit is gelijk aan 1 voor parabolen en groter dan 1 voor hyperbolen.
Een hyperbool heeft twee focuspunten, één aan elke kant van het midden.
Een parabool heeft er maar één.
Vergelijking van een parabool en zijn relatie met de symmetrieas
Bij de studie van parabolen is de symmetrieas een belangrijk idee.
Het is een lijn die een parabool splitst in twee delen die dezelfde grootte en vorm hebben.
Symmetrieas van een parabool
Een parabool heeft een symmetrieas die een rechte lijn is die door het punt van de parabool gaat.
De vergelijking van de symmetrie-as is de x-coördinaat van het punt waar de twee lijnen samenkomen.
De vergelijking voor de symmetrieas voor een kwadratische functie in standaardvorm, y = ax2 + bx + c, is x = -b/2a.
Eigenschappen van de symmetrie-as
De symmetrie-as is de lijn die een parabool verdeelt in twee helften die dezelfde grootte en vorm hebben.
Het punt waar de symmetrie-as en de parabool elkaar ontmoeten, wordt het hoekpunt genoemd.
Als een parabool naar boven of naar beneden opent, is de symmetrieas verticaal en is de vergelijking een verticale lijn die door het hoekpunt gaat.
Als het naar links of rechts opent, heeft het een horizontale symmetrieas en is de vergelijking een horizontale lijn die door zijn punt gaat.
Vergelijking van een parabool
In standaardvorm is de vergelijking voor een parabool y = ax2 + bx + c.
Of de parabool naar boven of naar beneden opent, hangt af van de coëfficiënt "a".
Als an positief is, opent de parabool.
Als an negatief is, opent de parabool naar beneden.
Het punt waar de parabool begint en eindigt is (-b/2a, c - b2/4a).
Dit is het punt waar de symmetrieas van de parabool doorheen gaat.
Hoe de symmetrie-as van een parabool of kwadratische functie te vinden
Het vinden van de Vertex
Het punt waar een parabool of kwadratische functie zijn symmetrieas ontmoet, wordt de vertex genoemd.
Om van de standaardvorm naar de hoekpuntvorm te gaan, kunt u de methode "vierkant voltooien" gebruiken om het te vinden.
Een kwadratische functie ziet er als volgt uit: y = ax2 + bx + c.
De topvorm is y = a(x - h)2 + k.
Volg deze stappen om het punt te vinden.
Om de x-coördinaat van het hoekpunt te vinden, deelt u de coëfficiënt van de x-term (b) door 2a: h = -b/2a.
Zet de waarde van h in de oorspronkelijke vergelijking, k = a(h)2 + b(h) + c, om de y-coördinaat van het punt te vinden.
De as van symmetrie vinden
Als je eenmaal weet waar het hoekpunt is (h, k), kun je de vergelijking voor de symmetrieas vinden door h te vervangen door de formule x = -b/2a.
De vergelijking is de verticale lijn die door het hoekpunt gaat en de parabool in twee gelijke helften verdeelt.
De onderscheppingen vinden
Als je x en y oplost in de vergelijking y = ax2 + bx + c, kun je de snijpunten van een parabool of kwadratische functie vinden.
Stel y in op 0 en los x op om de x-snijpunten te vinden.
Stel x in op 0 en los y op om het y-snijpunt te vinden.
Tip: Schakel de ondertitelingsknop in als je die nodig hebt. Kies "automatische vertaling" in de instellingenknop, als u niet bekend bent met de Engelse taal. Mogelijk moet u eerst op de taal van de video klikken voordat uw favoriete taal beschikbaar komt voor vertaling.
De symmetrie-as van een functie bepalen op basis van de grafiek en reflectie gebruiken
In geometrie en functies is de symmetrie-as een heel belangrijk idee.
Het is een lijn die een figuur of grafiek splitst in twee delen die dezelfde grootte en vorm hebben maar er anders uitzien.
In dit artikel zullen we bekijken hoe we de grafiek en reflectie van een functie kunnen gebruiken om de symmetrie-as te vinden.
Identificatie van de symmetrielijn
De symmetrieas van een functie kan worden gevonden door naar de grafiek te kijken en de symmetrielijn te vinden, wat een lijn is die de grafiek splitst in twee delen die hetzelfde zijn maar spiegelbeelden van elkaar zijn.
Als voorbeeld:
- Als de grafiek aan beide zijden van de y-as gelijk is, dan is de y-as de symmetrielijn.
- Als de grafiek aan beide zijden van de x-as gelijk is, dan is de x-as de symmetrielijn.
- Als de grafiek symmetrisch is rond een verticale of horizontale lijn die niet de x-as of y-as is, dan is de symmetrielijn een verticale of horizontale lijn die door het hoekpunt van de functie gaat.
De symmetrie-as vinden met behulp van reflectie
Om reflectie te gebruiken om de symmetrieas van een figuur te vinden, moet je een lijn trekken die de figuur verdeelt in twee spiegelbeeldige delen die hetzelfde zijn.
Een symmetrie-as wordt deze lijn genoemd.
Het is belangrijk om de vertex van de parabool te vinden, het laagste of hoogste punt in de grafiek.
De symmetrieas is een verticale lijn die door het hoekpunt gaat.
De vergelijking voor de symmetrie-as is de x-coördinaat van het hoekpunt.
Voor andere vormen, zoals cirkels of polygonen, is de symmetrieas de lijn of lijnen die de vorm in twee delen splitsen die hetzelfde zijn.
Toepassingen in de praktijk van de as van symmetrie in techniek en ontwerp
Symmetrie is een basisidee in techniek en ontwerp en kan op veel verschillende manieren worden gebruikt.
Architectuur
Symmetrie is erg belangrijk in de architectuur, waar het wordt gebruikt om gebouwen te maken die er goed uitzien en voldoen aan technische eisen.
Structuren die symmetrisch zijn, zijn gemakkelijker te plannen, te bouwen en bij te houden, en ze kunnen een gebouw ook sterker maken.
Architecten gebruiken vaak de symmetrie-as om structuren te maken die symmetrisch zijn door vormen, vormen of hoeken te reflecteren die vergelijkbaar zijn over een centrale lijn of punt.
Een geweldig voorbeeld van pure reflectiesymmetrie is het Airbnb-logo.
De Mac-pagina op de website van Apple is een ander geweldig voorbeeld van reflectiesymmetrie.
De MacBook-schermen hebben aan beide zijden van de centrale verticale as dezelfde lengte, en de tekstregels in de kop en tussenkop zijn ook even lang aan beide zijden van de as.
Engineering
In engineering wordt symmetrie vaak gebruikt om ervoor te zorgen dat twee vergelijkbare delen van een onderdeel altijd gecentreerd zijn en over het hele oppervlak dezelfde vorm hebben.
Symmetrie kan bijvoorbeeld worden gebruikt om ervoor te zorgen dat een groef gecentreerd is op het middenvlak van een vergrendelingsblok.
U kunt de symmetrie-as gebruiken om ervoor te zorgen dat de groef op de juiste plaats zit en dezelfde vorm heeft over het hele oppervlak van het vergrendelingsblok.
Andere gebruiken
| Gebruikt in: | Beschrijving: |
|---|---|
| Elektronica | De symmetrie-as wordt gebruikt om ervoor te zorgen dat het circuit in balans is en stabiel werkt. Symmetrieas kan bijvoorbeeld worden gebruikt om ervoor te zorgen dat de stroom gelijkmatig door een elektronisch circuit stroomt. |
| Natuurkunde | De symmetrie-as wordt gebruikt om te praten over de eigenschappen van dingen die er hetzelfde uitzien als ze worden gedraaid. De symmetrie-as wordt bijvoorbeeld gebruikt om te beschrijven hoe dingen zoals planeten, sterren en sterrenstelsels bewegen wanneer ze ronddraaien. |
| Wiskunde | De symmetrie-as wordt gebruikt om vergelijkingen op te lossen en de eigenschappen van geometrische vormen te beschrijven. De symmetrie-as wordt bijvoorbeeld gebruikt om de wortels van kwadratische vergelijkingen te vinden en de eigenschappen van parabolen, ellipsen en hyperbolen te beschrijven. |
| Biologie | De symmetrie-as wordt gebruikt om te beschrijven hoe levende wezens aan beide kanten hetzelfde zijn. Veel dieren, zoals vlinders en mensen, hebben bijvoorbeeld bilaterale symmetrie, wat betekent dat ze een enkele symmetrieas hebben die hun lichaam in twee spiegelbeeldige helften verdeelt. |
| Kunst | De symmetrie-as wordt in de kunst gebruikt om stukken te maken die evenwichtig en symmetrisch zijn. De symmetrieas wordt bijvoorbeeld in veel klassieke schilderijen en sculpturen gebruikt om een gevoel van harmonie en balans te geven. |
Conclusie
Concluderend, de symmetrie-as lijkt misschien een eenvoudig idee, maar het heeft belangrijke effecten op techniek en ontwerp die moeilijk te voorspellen zijn.
Als je weet hoe je de symmetrieas van een vorm of functie kunt vinden, kun je nieuwe manieren vinden om naar dingen te kijken en nieuwe ideeën te bedenken.
Maar de symmetrie-as is misschien nog belangrijker omdat het ons eraan herinnert dat symmetrie en balans belangrijke onderdelen zijn van alles in de natuur, van atomen tot sterrenstelsels.
Door deze ideeën in ons werk als ingenieurs te gebruiken, kunnen we ontwerpen maken die efficiënter, duurzamer en mooier zijn, net als het universum zelf.
Dus onthoud de volgende keer dat je aan een project werkt de symmetrie-as en de kracht van symmetrie en balans om iets echt geweldigs te maken.
Delen op…
