Você pode não ter pensado muito sobre o eixo de simetria como estudante de engenharia ou engenheiro.
Mas essa ideia simples, mas poderosa, está no centro de muitas aplicações importantes em seu campo, desde o projeto de pontes e edifícios até a fabricação de eletrônicos avançados e dispositivos médicos.
Se você souber o que é o eixo de simetria e como ele se relaciona com formas e funções geométricas, poderá abrir todo um mundo de novas ideias e formas de pensar.
Nesta postagem do blog, falarei em profundidade sobre o eixo de simetria e mostrarei como ele se aplica ao seu trabalho como engenheiro.
Então prepare-se para ver o mundo de uma maneira totalmente nova.
Introdução ao Eixo de Simetria em Geometria
Definição formal:
Uma linha imaginária sobre a qual uma figura geométrica é simétrica.
O eixo de simetria é um conceito importante em geometria.
É uma parte fundamental da criação de formas e objetos equilibrados e simétricos.
Neste artigo, falaremos sobre o que é o eixo de simetria e como ele pode ser utilizado na geometria, principalmente com funções quadráticas.
Definição do Eixo de Simetria
O eixo de simetria é uma linha que corta um objeto ao meio para que cada lado pareça uma imagem espelhada do outro lado.
É uma linha reta imaginária que passa pelo meio de uma forma ou objeto e o divide em duas partes idênticas, sendo uma parte a imagem espelhada da outra.
Quando o papel é dobrado ao longo do eixo de simetria, as duas partes se alinham perfeitamente.
O significado do eixo de simetria em figuras e funções geométricas
Aplicações do Eixo de Simetria em Figuras Geométricas
Polígonos Regulares: Se um polígono tiver n lados, ele também terá n eixos de simetria.
Você pode usar esses eixos de simetria para dividir o polígono em partes idênticas, o que torna mais fácil descobrir quais são suas propriedades.
Parábolas: Na forma padrão, onde y = ax2 + bx + c, a equação para o eixo de simetria é x = -b/2a.
Esta fórmula é usada para encontrar a coordenada x do ponto no eixo de simetria onde está o vértice da parábola.
Quando se trata de fazer um ponto: Você também pode descobrir se um gráfico é simétrico em relação a um ponto girando-o 180° em torno desse ponto.
Se o gráfico permanecer o mesmo após a rotação, ele é simétrico em relação a esse ponto.
Usando esta propriedade, você pode encontrar peças simétricas em diferentes formas e funções.
Simetria de funções
As funções podem ser simétricas em relação ao eixo y, o que significa que, se você inverter o gráfico em torno do eixo y, ele terá a mesma aparência.
Isso é chamado de "simetria par" e a função f(-x) = f é usada para mostrá-lo (x).
Além disso, as funções podem ser simétricas em relação à origem, o que significa que, se o gráfico for girado 180° em torno da origem, ele terá a mesma aparência.
Isso é chamado de "simetria ímpar" e a função que a mostra é f(-x) = -f (x).
Compreendendo as diferenças entre o eixo de simetria de uma parábola e uma hipérbole
Em matemática, dois dos tipos mais comuns de seções cônicas são as parábolas e as hipérboles.
Embora ambas as formas tenham seu próprio eixo de simetria, elas não são iguais em muitos aspectos.
Eixo de simetria de uma parábola
O eixo de simetria de uma parábola é uma reta que passa pelo foco e é paralela à diretriz.
Uma hipérbole tem mais de uma curva, mas uma parábola tem apenas uma curva e nenhuma assíntota.
Também abre menos que uma hipérbole.
Uma parábola tem um valor de excentricidade de 1, e não importa quão grande ou pequena ela seja, ela sempre tem a mesma forma.
Eixo de simetria de uma hipérbole
Algumas linhas que passam pelo centro de uma hipérbole são assintóticas.
Ao contrário de uma parábola, ela tem duas curvas que são imagens espelhadas uma da outra e se abrem em direções opostas.
O centro de uma hipérbole é o ponto intermediário entre seus dois pontos.
A parte de uma reta que passa pelos pontos de uma hipérbole é chamada de eixo.
Seu eixo conjugado é a parte de uma reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo transversal.
Formação de Parábolas e Hipérboles
Quando um plano corta as duas metades de um cone em um ângulo maior que a inclinação do cone, ele forma uma hipérbole.
Por outro lado, as parábolas são feitas quando os planos encontram os cones que são paralelos a um lado.
Diferenças na excentricidade e nos pontos de foco
A principal diferença entre uma parábola e uma hipérbole é o valor de sua excentricidade.
A excentricidade é igual a 1 para parábolas e maior que 1 para hipérboles.
Uma hipérbole tem dois pontos focais, um de cada lado de seu centro.
Uma parábola só tem uma.
Equação de uma parábola e sua relação com o eixo de simetria
No estudo de parábolas, o eixo de simetria é uma ideia importante.
É uma linha que divide uma parábola em duas partes que são do mesmo tamanho e forma uma da outra.
Eixo de simetria de uma parábola
Uma parábola tem um eixo de simetria que é uma linha reta que passa pelo ponto da parábola.
A equação do eixo de simetria é a coordenada x do ponto onde as duas linhas se encontram.
A equação para o eixo de simetria para uma função quadrática na forma padrão, y = ax2 + bx + c, é x = -b/2a.
Propriedades do Eixo de Simetria
O eixo de simetria é a linha que divide uma parábola em duas metades que são do mesmo tamanho e forma uma da outra.
O ponto onde o eixo de simetria e a parábola se encontram é chamado de vértice.
Se uma parábola abre para cima ou para baixo, seu eixo de simetria é vertical e sua equação é uma linha vertical que passa por seu vértice.
Se abre para a esquerda ou para a direita, tem um eixo de simetria horizontal e sua equação é uma reta horizontal que passa por seu ponto.
Equação de uma parábola
Na forma padrão, a equação para uma parábola é y = ax2 + bx + c.
Se a parábola abre para cima ou para baixo depende do coeficiente "a".
Se an é positivo, a parábola se abre.
Se an é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
O ponto onde a parábola começa e termina é (-b/2a, c - b2/4a).
Este é o ponto por onde passa o eixo de simetria da parábola.
Como encontrar o eixo de simetria de uma parábola ou função quadrática
Encontrando o vértice
O ponto onde uma parábola ou função quadrática encontra seu eixo de simetria é chamado de vértice.
Para passar da forma padrão para a forma de vértice, você pode usar o método "completando o quadrado" para encontrá-lo.
Uma função quadrática se parece com isto: y = ax2 + bx + c.
A forma do vértice é y = a(x - h)2 + k.
Siga estes passos para encontrar o ponto.
Para encontrar a coordenada x do vértice, divida o coeficiente do termo x (b) por 2a: h = -b/2a.
Coloque o valor de h na equação original, k = a(h)2 + b(h) + c, para encontrar a coordenada y do ponto.
Encontrando o eixo de simetria
Depois de saber onde está o vértice (h, k), você pode encontrar a equação para o eixo de simetria substituindo h na fórmula x = -b/2a.
A equação será a reta vertical que passa pelo vértice e divide a parábola em duas metades iguais.
Encontrando as interceptações
Se você resolver x e y na equação y = ax2 + bx + c, poderá encontrar as interceptações de uma parábola ou função quadrática.
Defina y como 0 e resolva x para encontrar as interceptações x.
Defina x como 0 e resolva para y para encontrar a interceptação y.
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Determinando o eixo de simetria de uma função a partir de seu gráfico e usando a reflexão
Em geometria e funções, o eixo de simetria é uma ideia muito importante.
É uma linha que divide uma figura ou gráfico em duas partes que têm o mesmo tamanho e forma, mas parecem diferentes.
Neste artigo, veremos como usar o gráfico e a reflexão de uma função para encontrar seu eixo de simetria.
Identificando a linha de simetria
O eixo de simetria de uma função pode ser encontrado observando seu gráfico e encontrando a linha de simetria, que é uma linha que divide o gráfico em duas partes iguais, mas que são imagens especulares uma da outra.
Como um exemplo:
- Se o gráfico for o mesmo em ambos os lados do eixo y, então o eixo y é a linha de simetria.
- Se o gráfico é o mesmo em ambos os lados do eixo x, então o eixo x é a linha de simetria.
- Se o gráfico for simétrico em relação a uma linha vertical ou horizontal que não seja o eixo x ou o eixo y, a linha de simetria é uma linha vertical ou horizontal que passa pelo vértice da função.
Encontrando o eixo de simetria usando a reflexão
Para usar a reflexão para encontrar o eixo de simetria de uma figura, você precisa desenhar uma linha que divide a figura em duas partes de imagem espelhada iguais.
Um eixo de simetria é como essa linha é chamada.
Encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais baixo ou mais alto do gráfico, é importante.
O eixo de simetria é uma linha vertical que passa pelo vértice.
A equação para o eixo de simetria é a coordenada x do vértice.
Para outras formas, como círculos ou polígonos, o eixo de simetria é a linha ou linhas que dividem a forma em duas partes iguais.
Aplicações do mundo real do eixo de simetria em engenharia e design
A simetria é uma ideia básica em engenharia e design e pode ser usada de várias maneiras diferentes.
Arquitetura
A simetria é muito importante na arquitetura, onde é usada para fazer edifícios com boa aparência e que atendam aos requisitos de engenharia.
As estruturas simétricas são mais fáceis de planejar, construir e manter, e também podem tornar um edifício mais forte.
Os arquitetos costumam usar o eixo de simetria para criar estruturas simétricas, refletindo formas, formas ou ângulos semelhantes em uma linha ou ponto central.
Um grande exemplo de simetria reflexiva pura é o logotipo do Airbnb.
A página do Mac no site da Apple é outro grande exemplo de simetria reflexiva.
As telas do MacBook têm o mesmo comprimento em ambos os lados do eixo vertical central, e as linhas de texto no título e no subtítulo também têm o mesmo comprimento em ambos os lados do eixo.
Engenharia
Na engenharia, a simetria é freqüentemente usada para garantir que duas partes semelhantes de uma peça estejam sempre centralizadas e tenham a mesma forma ao longo de sua superfície.
Por exemplo, a simetria pode ser usada para garantir que uma ranhura seja centralizada no plano médio de um bloco de trava.
Você pode usar o eixo de simetria para garantir que a ranhura esteja no lugar certo e tenha a mesma forma ao longo de toda a superfície do bloco de trava.
Outros usos
| Usado em: | Descrição: |
|---|---|
| Eletrônicos | O eixo de simetria é usado para garantir que o circuito esteja equilibrado e funcione de maneira estável. Por exemplo, o eixo de simetria pode ser usado para garantir que a corrente flua uniformemente através de um circuito eletrônico. |
| Física | O eixo de simetria é usado para falar sobre as propriedades das coisas que parecem as mesmas quando são giradas. Por exemplo, o eixo de simetria é usado para descrever como coisas como planetas, estrelas e galáxias se movem quando giram. |
| Matemática | O eixo de simetria é usado para resolver equações e descrever as propriedades de formas geométricas. Por exemplo, o eixo de simetria é usado para encontrar as raízes de equações quadráticas e descrever as propriedades de parábolas, elipses e hipérboles. |
| Biologia | O eixo de simetria é usado para descrever a maneira como os seres vivos são iguais em ambos os lados. Por exemplo, muitos animais, como borboletas e humanos, têm simetria bilateral, o que significa que eles têm um único eixo de simetria que divide seu corpo em duas metades espelhadas. |
| Arte | O eixo de simetria é usado na arte para fazer peças equilibradas e simétricas. Por exemplo, o eixo de simetria é usado em muitas pinturas e esculturas clássicas para dar uma sensação de harmonia e equilíbrio. |
Conclusão
Em conclusão, o eixo de simetria pode parecer uma ideia simples, mas tem efeitos importantes na engenharia e no design que são difíceis de prever.
Se você souber encontrar o eixo de simetria de uma forma ou função, poderá encontrar novas maneiras de ver as coisas e ter novas ideias.
Mas o eixo de simetria pode ser ainda mais importante porque nos lembra que a simetria e o equilíbrio são partes importantes de tudo na natureza, dos átomos às galáxias.
Ao usar essas ideias em nosso trabalho como engenheiros, podemos fazer designs mais eficientes, duradouros e bonitos, assim como o próprio universo.
Portanto, da próxima vez que estiver trabalhando em um projeto, lembre-se do eixo de simetria e do poder da simetria e do equilíbrio para criar algo realmente incrível.
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