Entendendo O Eixo De Simetria Na Geometria

Você pode não ter pensado muito sobre o eixo de simetria como estudante de engenharia ou engenheiro.

Mas essa ideia simples, mas poderosa, est√° no centro de muitas aplica√ß√Ķes importantes em seu campo, desde o projeto de pontes e edif√≠cios at√© a fabrica√ß√£o de eletr√īnicos avan√ßados e dispositivos m√©dicos.

Se voc√™ souber o que √© o eixo de simetria e como ele se relaciona com formas e fun√ß√Ķes geom√©tricas, poder√° abrir todo um mundo de novas ideias e formas de pensar.

Nesta postagem do blog, falarei em profundidade sobre o eixo de simetria e mostrarei como ele se aplica ao seu trabalho como engenheiro.

Ent√£o prepare-se para ver o mundo de uma maneira totalmente nova.

Introdução ao Eixo de Simetria em Geometria

Definição formal:

Uma linha imaginária sobre a qual uma figura geométrica é simétrica.

O eixo de simetria é um conceito importante em geometria.

√Č uma parte fundamental da cria√ß√£o de formas e objetos equilibrados e sim√©tricos.

Neste artigo, falaremos sobre o que √© o eixo de simetria e como ele pode ser utilizado na geometria, principalmente com fun√ß√Ķes quadr√°ticas.

Definição do Eixo de Simetria

O eixo de simetria é uma linha que corta um objeto ao meio para que cada lado pareça uma imagem espelhada do outro lado.

√Č uma linha reta imagin√°ria que passa pelo meio de uma forma ou objeto e o divide em duas partes id√™nticas, sendo uma parte a imagem espelhada da outra.

Quando o papel é dobrado ao longo do eixo de simetria, as duas partes se alinham perfeitamente.

O significado do eixo de simetria em figuras e fun√ß√Ķes geom√©tricas

Aplica√ß√Ķes do Eixo de Simetria em Figuras Geom√©tricas

Polígonos Regulares: Se um polígono tiver n lados, ele também terá n eixos de simetria.

Você pode usar esses eixos de simetria para dividir o polígono em partes idênticas, o que torna mais fácil descobrir quais são suas propriedades.

Parábolas: Na forma padrão, onde y = ax2 + bx + c, a equação para o eixo de simetria é x = -b/2a.

Esta fórmula é usada para encontrar a coordenada x do ponto no eixo de simetria onde está o vértice da parábola.

Quando se trata de fazer um ponto: Voc√™ tamb√©m pode descobrir se um gr√°fico √© sim√©trico em rela√ß√£o a um ponto girando-o 180¬į em torno desse ponto.

Se o gráfico permanecer o mesmo após a rotação, ele é simétrico em relação a esse ponto.

Usando esta propriedade, voc√™ pode encontrar pe√ßas sim√©tricas em diferentes formas e fun√ß√Ķes.

Simetria de fun√ß√Ķes

As fun√ß√Ķes podem ser sim√©tricas em rela√ß√£o ao eixo y, o que significa que, se voc√™ inverter o gr√°fico em torno do eixo y, ele ter√° a mesma apar√™ncia.

Isso é chamado de "simetria par" e a função f(-x) = f é usada para mostrá-lo (x).

Al√©m disso, as fun√ß√Ķes podem ser sim√©tricas em rela√ß√£o √† origem, o que significa que, se o gr√°fico for girado 180¬į em torno da origem, ele ter√° a mesma apar√™ncia.

Isso é chamado de "simetria ímpar" e a função que a mostra é f(-x) = -f (x).

Compreendendo as diferenças entre o eixo de simetria de uma parábola e uma hipérbole

Em matem√°tica, dois dos tipos mais comuns de se√ß√Ķes c√īnicas s√£o as par√°bolas e as hip√©rboles.

Embora ambas as formas tenham seu próprio eixo de simetria, elas não são iguais em muitos aspectos.

Eixo de simetria de uma par√°bola

O eixo de simetria de uma parábola é uma reta que passa pelo foco e é paralela à diretriz.

Uma hipérbole tem mais de uma curva, mas uma parábola tem apenas uma curva e nenhuma assíntota.

Também abre menos que uma hipérbole.

Uma par√°bola tem um valor de excentricidade de 1, e n√£o importa qu√£o grande ou pequena ela seja, ela sempre tem a mesma forma.

Eixo de simetria de uma hipérbole

Algumas linhas que passam pelo centro de uma hipérbole são assintóticas.

Ao contr√°rio de uma par√°bola, ela tem duas curvas que s√£o imagens espelhadas uma da outra e se abrem em dire√ß√Ķes opostas.

O centro de uma hipérbole é o ponto intermediário entre seus dois pontos.

A parte de uma reta que passa pelos pontos de uma hipérbole é chamada de eixo.

Seu eixo conjugado é a parte de uma reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo transversal.

Formação de Parábolas e Hipérboles

Quando um plano corta as duas metades de um cone em um √Ęngulo maior que a inclina√ß√£o do cone, ele forma uma hip√©rbole.

Por outro lado, as par√°bolas s√£o feitas quando os planos encontram os cones que s√£o paralelos a um lado.

Diferenças na excentricidade e nos pontos de foco

A principal diferença entre uma parábola e uma hipérbole é o valor de sua excentricidade.

A excentricidade é igual a 1 para parábolas e maior que 1 para hipérboles.

Uma hipérbole tem dois pontos focais, um de cada lado de seu centro.

Uma parábola só tem uma.

Equação de uma parábola e sua relação com o eixo de simetria

No estudo de parábolas, o eixo de simetria é uma ideia importante.

√Č uma linha que divide uma par√°bola em duas partes que s√£o do mesmo tamanho e forma uma da outra.

Eixo de simetria de uma par√°bola

Uma parábola tem um eixo de simetria que é uma linha reta que passa pelo ponto da parábola.

A equação do eixo de simetria é a coordenada x do ponto onde as duas linhas se encontram.

A equação para o eixo de simetria para uma função quadrática na forma padrão, y = ax2 + bx + c, é x = -b/2a.

Propriedades do Eixo de Simetria

O eixo de simetria é a linha que divide uma parábola em duas metades que são do mesmo tamanho e forma uma da outra.

O ponto onde o eixo de simetria e a parábola se encontram é chamado de vértice.

Se uma parábola abre para cima ou para baixo, seu eixo de simetria é vertical e sua equação é uma linha vertical que passa por seu vértice.

Se abre para a esquerda ou para a direita, tem um eixo de simetria horizontal e sua equação é uma reta horizontal que passa por seu ponto.

Equação de uma parábola

Na forma padrão, a equação para uma parábola é y = ax2 + bx + c.

Se a par√°bola abre para cima ou para baixo depende do coeficiente "a".

Se an é positivo, a parábola se abre.

Se an é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

O ponto onde a parábola começa e termina é (-b/2a, c - b2/4a).

Este é o ponto por onde passa o eixo de simetria da parábola.

Como encontrar o eixo de simetria de uma parábola ou função quadrática

Encontrando o vértice

O ponto onde uma parábola ou função quadrática encontra seu eixo de simetria é chamado de vértice.

Para passar da forma padrão para a forma de vértice, você pode usar o método "completando o quadrado" para encontrá-lo.

Uma função quadrática se parece com isto: y = ax2 + bx + c.

A forma do vértice é y = a(x - h)2 + k.

Siga estes passos para encontrar o ponto.

Para encontrar a coordenada x do vértice, divida o coeficiente do termo x (b) por 2a: h = -b/2a.

Coloque o valor de h na equação original, k = a(h)2 + b(h) + c, para encontrar a coordenada y do ponto.

Encontrando o eixo de simetria

Depois de saber onde está o vértice (h, k), você pode encontrar a equação para o eixo de simetria substituindo h na fórmula x = -b/2a.

A equação será a reta vertical que passa pelo vértice e divide a parábola em duas metades iguais.

Encontrando as intercepta√ß√Ķes

Se voc√™ resolver x e y na equa√ß√£o y = ax2 + bx + c, poder√° encontrar as intercepta√ß√Ķes de uma par√°bola ou fun√ß√£o quadr√°tica.

Defina y como 0 e resolva x para encontrar as intercepta√ß√Ķes x.

Defina x como 0 e resolva para y para encontrar a interceptação y.


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Determinando o eixo de simetria de uma função a partir de seu gráfico e usando a reflexão

Em geometria e fun√ß√Ķes, o eixo de simetria √© uma ideia muito importante.

√Č uma linha que divide uma figura ou gr√°fico em duas partes que t√™m o mesmo tamanho e forma, mas parecem diferentes.

Neste artigo, veremos como usar o gráfico e a reflexão de uma função para encontrar seu eixo de simetria.

Identificando a linha de simetria

O eixo de simetria de uma função pode ser encontrado observando seu gráfico e encontrando a linha de simetria, que é uma linha que divide o gráfico em duas partes iguais, mas que são imagens especulares uma da outra.

Como um exemplo:

  • Se o gr√°fico for o mesmo em ambos os lados do eixo y, ent√£o o eixo y √© a linha de simetria.
  • Se o gr√°fico √© o mesmo em ambos os lados do eixo x, ent√£o o eixo x √© a linha de simetria.
  • Se o gr√°fico for sim√©trico em rela√ß√£o a uma linha vertical ou horizontal que n√£o seja o eixo x ou o eixo y, a linha de simetria √© uma linha vertical ou horizontal que passa pelo v√©rtice da fun√ß√£o.

Encontrando o eixo de simetria usando a reflex√£o

Para usar a reflexão para encontrar o eixo de simetria de uma figura, você precisa desenhar uma linha que divide a figura em duas partes de imagem espelhada iguais.

Um eixo de simetria é como essa linha é chamada.

Encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais baixo ou mais alto do gráfico, é importante.

O eixo de simetria é uma linha vertical que passa pelo vértice.

A equação para o eixo de simetria é a coordenada x do vértice.

Para outras formas, como círculos ou polígonos, o eixo de simetria é a linha ou linhas que dividem a forma em duas partes iguais.

Aplica√ß√Ķes do mundo real do eixo de simetria em engenharia e design

A simetria é uma ideia básica em engenharia e design e pode ser usada de várias maneiras diferentes.

Arquitetura

A simetria é muito importante na arquitetura, onde é usada para fazer edifícios com boa aparência e que atendam aos requisitos de engenharia.

As estruturas simétricas são mais fáceis de planejar, construir e manter, e também podem tornar um edifício mais forte.

Os arquitetos costumam usar o eixo de simetria para criar estruturas sim√©tricas, refletindo formas, formas ou √Ęngulos semelhantes em uma linha ou ponto central.

Um grande exemplo de simetria reflexiva pura é o logotipo do Airbnb.

A página do Mac no site da Apple é outro grande exemplo de simetria reflexiva.

As telas do MacBook têm o mesmo comprimento em ambos os lados do eixo vertical central, e as linhas de texto no título e no subtítulo também têm o mesmo comprimento em ambos os lados do eixo.

Engenharia

Na engenharia, a simetria √© freq√ľentemente usada para garantir que duas partes semelhantes de uma pe√ßa estejam sempre centralizadas e tenham a mesma forma ao longo de sua superf√≠cie.

Por exemplo, a simetria pode ser usada para garantir que uma ranhura seja centralizada no plano médio de um bloco de trava.

Você pode usar o eixo de simetria para garantir que a ranhura esteja no lugar certo e tenha a mesma forma ao longo de toda a superfície do bloco de trava.

Outros usos

Usado em:Descrição:
Eletr√īnicosO eixo de simetria √© usado para garantir que o circuito esteja equilibrado e funcione de maneira est√°vel. Por exemplo, o eixo de simetria pode ser usado para garantir que a corrente flua uniformemente atrav√©s de um circuito eletr√īnico.
FísicaO eixo de simetria é usado para falar sobre as propriedades das coisas que parecem as mesmas quando são giradas. Por exemplo, o eixo de simetria é usado para descrever como coisas como planetas, estrelas e galáxias se movem quando giram.
Matem√°ticaO eixo de simetria √© usado para resolver equa√ß√Ķes e descrever as propriedades de formas geom√©tricas. Por exemplo, o eixo de simetria √© usado para encontrar as ra√≠zes de equa√ß√Ķes quadr√°ticas e descrever as propriedades de par√°bolas, elipses e hip√©rboles.
BiologiaO eixo de simetria √© usado para descrever a maneira como os seres vivos s√£o iguais em ambos os lados. Por exemplo, muitos animais, como borboletas e humanos, t√™m simetria bilateral, o que significa que eles t√™m um √ļnico eixo de simetria que divide seu corpo em duas metades espelhadas.
ArteO eixo de simetria é usado na arte para fazer peças equilibradas e simétricas. Por exemplo, o eixo de simetria é usado em muitas pinturas e esculturas clássicas para dar uma sensação de harmonia e equilíbrio.

Conclus√£o

Em conclusão, o eixo de simetria pode parecer uma ideia simples, mas tem efeitos importantes na engenharia e no design que são difíceis de prever.

Se você souber encontrar o eixo de simetria de uma forma ou função, poderá encontrar novas maneiras de ver as coisas e ter novas ideias.

Mas o eixo de simetria pode ser ainda mais importante porque nos lembra que a simetria e o equilíbrio são partes importantes de tudo na natureza, dos átomos às galáxias.

Ao usar essas ideias em nosso trabalho como engenheiros, podemos fazer designs mais eficientes, duradouros e bonitos, assim como o próprio universo.

Portanto, da próxima vez que estiver trabalhando em um projeto, lembre-se do eixo de simetria e do poder da simetria e do equilíbrio para criar algo realmente incrível.

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