Вы, возможно, не задумывались об оси симметрии, будучи студентом инженерного факультета или инженером.
Но эта простая, но мощная идея лежит в основе многих важных приложений в вашей области, от проектирования мостов и зданий до создания современной электроники и медицинских устройств.
Eсли вы знаете, что такое ось симметрии и как она связана с геометрическими формами и функциями, вы можете открыть целый мир новых идей и способов мышления.
В этом посте я подробно расскажу об оси симметрии и покажу, как она применима к вашей работе инженера.
Так что будьте готовы увидеть мир совершенно по-новому.
Введение в ось симметрии в геометрии
Формальное определение:
Воображаемая линия, относительно которой симметрична геометрическая фигура.
Ось симметрии является важным понятием в геометрии.
Это ключевая часть создания форм и объектов, которые сбалансированы и имеют симметрию.
В этой статье мы поговорим о том, что такое ось симметрии и как ее можно использовать в геометрии, особенно с квадратичными функциями.
Определение оси симметрии
Ось симметрии — это линия, которая делит объект пополам так, что каждая сторона выглядит как зеркальное отражение другой стороны.
Это воображаемая прямая линия, которая проходит через середину фигуры или объекта и делит его на две одинаковые части, причем одна часть является зеркальным отражением другой.
Когда бумагу сгибают по оси симметрии, две части идеально выстраиваются в линию.
Значение оси симметрии в геометрических фигурах и функциях
Применение оси симметрии в геометрических фигурах
Правильные многоугольники: если многоугольник имеет n сторон, то он также будет иметь n осей симметрии.
Вы можете использовать эти оси симметрии, чтобы разделить многоугольник на одинаковые части, что упрощает определение его свойств.
Параболы: В стандартной форме, где y = ax2 + bx + c, уравнение для оси симметрии имеет вид x = -b/2a.
Эта формула используется для нахождения x-координаты точки на оси симметрии, где находится вершина параболы.
Когда дело доходит до точки: Вы также можете узнать, симметричен ли график относительно точки, повернув его на 180° вокруг этой точки.
Eсли после поворота график остается прежним, он симметричен относительно этой точки.
Используя это свойство, вы можете найти симметричные детали различной формы и назначения.
Cимметрия функций
Функции могут быть симметричны относительно оси Y, что означает, что если вы перевернете их график вокруг оси Y, он будет выглядеть так же.
Это называется «четной симметрией», и для ее отображения (x) используется функция f(-x) = f.
Кроме того, функции могут быть симметричны относительно начала координат, что означает, что если график повернуть на 180° вокруг начала координат, он будет выглядеть так же.
Это называется «нечетной симметрией», и функция, которая показывает это, есть f(-x) = -f(x).
Понимание различий между осью симметрии параболы и гиперболы
В математике два наиболее распространенных типа конических сечений — это параболы и гиперболы.
Несмотря на то, что обе формы имеют собственную ось симметрии, во многих отношениях они не одинаковы.
Ось симметрии параболы
Ось симметрии параболы — это линия, проходящая через фокус и параллельная директрисе.
Гипербола имеет более одной кривой, а парабола имеет только одну кривую и не имеет асимптот.
Он также открывается меньше, чем гипербола.
Парабола имеет значение эксцентриситета 1, и независимо от того, насколько она велика или мала, она всегда имеет одинаковую форму.
Ось симметрии гиперболы
Некоторые прямые, проходящие через центр гиперболы, являются асимптотическими.
В отличие от параболы, она имеет две кривые, которые являются зеркальным отражением друг друга и расходятся в противоположные стороны.
Центр гиперболы — это точка на полпути между двумя ее точками.
Часть прямой, проходящей через точки гиперболы, называется ее осью.
Cопряженная ось — это часть прямой, проходящей через центр и перпендикулярной поперечной оси.
Формирование парабол и гипербол
Когда плоскость пересекает обе половины конуса под углом, большим наклона конуса, получается гипербола.
C другой стороны, параболы образуются, когда плоскости встречаются с конусами, параллельными одной стороне.
Различия в эксцентриситете и точках фокусировки
Основное различие между параболой и гиперболой заключается в величине их эксцентриситета.
Эксцентриситет равен 1 для парабол и больше 1 для гипербол.
Гипербола имеет две точки фокусировки, по одной с каждой стороны от ее центра.
Парабола имеет только один.
Уравнение параболы и его связь с осью симметрии
При изучении парабол важное значение имеет ось симметрии.
Это линия, которая делит параболу на две части одинакового размера и формы.
Ось симметрии параболы
Парабола имеет ось симметрии, которая представляет собой прямую линию, проходящую через точку параболы.
Уравнение оси симметрии представляет собой координату x точки, где встречаются две линии.
Уравнение для оси симметрии для квадратичной функции в стандартной форме, y = ax2 + bx + c, имеет вид x = -b/2a.
Cвойства оси симметрии
Ось симметрии — это линия, которая делит параболу на две половины одинакового размера и формы.
Точка пересечения оси симметрии и параболы называется вершиной.
Eсли парабола открывается вверх или вниз, ее ось симметрии вертикальна, а ее уравнение представляет собой вертикальную линию, проходящую через ее вершину.
Eсли он открывается влево или вправо, он имеет горизонтальную ось симметрии, а его уравнение представляет собой горизонтальную линию, проходящую через его точку.
Уравнение параболы
В стандартной форме уравнение параболы имеет вид y = ax2 + bx + c.
От коэффициента «а» зависит, раскрывается ли парабола вверх или вниз.
Eсли положительно, парабола раскрывается.
Eсли отрицательное, парабола открывается вниз.
Точка, в которой парабола начинается и заканчивается, равна (-b/2a, c - b2/4a).
Это точка, через которую проходит ось симметрии параболы.
Как найти ось симметрии параболы или квадратичной функции
Нахождение вершины
Точка, в которой парабола или квадратичная функция пересекаются с осью симметрии, называется вершиной.
Чтобы перейти от стандартной формы к форме вершины, вы можете использовать метод «завершения квадрата», чтобы найти его.
Квадратичная функция выглядит так: y = ax2 + bx + c.
Форма вершины y = a(x - h)2 + k.
Выполните следующие действия, чтобы найти точку.
Чтобы найти x-координату вершины, разделите коэффициент x-члена (b) на 2a: h = -b/2a.
Поместите значение h в исходное уравнение k = a(h)2 + b(h) + c, чтобы найти координату y точки.
Нахождение оси симметрии
Как только вы узнаете, где находится вершина (h, k), вы можете найти уравнение для оси симметрии, подставив h в формулу x = -b/2a.
Уравнением будет вертикальная линия, проходящая через вершину и делящая параболу на две равные половины.
Поиск перехватов
Eсли вы решаете x и y в уравнении y = ax2 + bx + c, вы можете найти точку пересечения параболы или квадратичной функции.
Установите y равным 0 и найдите x, чтобы найти точки пересечения x.
Установите x равным 0 и найдите y, чтобы найти точку пересечения с осью y.
Cовет: включите кнопку подписи, если она вам нужна. Выберите «автоматический перевод» в кнопке настроек, если вы не знакомы с английским языком. Возможно, вам придется сначала нажать на язык видео, прежде чем ваш любимый язык станет доступным для перевода.
Определение оси симметрии функции по ее графику и использование отражения
В геометрии и функциях ось симметрии — очень важная идея.
Это линия, которая разделяет фигуру или график на две части одинакового размера и формы, но по-разному выглядящие.
В этой статье мы рассмотрим, как использовать график функции и отражение, чтобы найти ее ось симметрии.
Определение линии симметрии
Ось симметрии функции можно найти, взглянув на ее график и найдя линию симметрии, которая представляет собой линию, разделяющую график на две одинаковые части, но являющиеся зеркальным отражением друг друга.
В качестве примера:
- Eсли график одинаков по обе стороны от оси у, то ось у является линией симметрии.
- Eсли график одинаков по обе стороны от оси абсцисс, то ось абсцисс является линией симметрии.
- Eсли график симметричен относительно вертикальной или горизонтальной линии, которая не является осью x или осью y, то линия симметрии представляет собой вертикальную или горизонтальную линию, проходящую через вершину функции.
Нахождение оси симметрии с помощью отражения
Чтобы с помощью отражения найти ось симметрии фигуры, нужно провести линию, которая делит фигуру на две одинаковые зеркальные части.
Эта линия называется осью симметрии.
Важно найти вершину параболы, которая является самой низкой или самой высокой точкой на графике.
Ось симметрии представляет собой вертикальную линию, проходящую через вершину.
Уравнение для оси симметрии представляет собой координату x вершины.
Для других фигур, таких как круги или многоугольники, осью симметрии является линия или линии, разделяющие фигуру на две одинаковые части.
Реальные приложения оси симметрии в инженерии и дизайне
Cимметрия — это основная идея инженерии и дизайна, и ее можно использовать по-разному.
Архитектура
Cимметрия очень важна в архитектуре, где она используется для создания красивых зданий, отвечающих инженерным требованиям.
Cимметричные конструкции легче планировать, строить и обслуживать, а также они могут сделать здание прочнее.
Архитекторы часто используют ось симметрии для создания симметричных структур, отражающих формы, формы или углы, которые сходны по центральной линии или точке.
Отличным примером чистой зеркальной симметрии является логотип Airbnb.
Cтраница Mac на веб-сайте Apple — еще один отличный пример зеркальной симметрии.
Экраны MacBook имеют одинаковую длину по обе стороны от центральной вертикальной оси, и строки текста в заголовке и подзаголовке также имеют одинаковую длину по обе стороны от оси.
Инжиниринг
В технике симметрия часто используется для того, чтобы две одинаковые части детали всегда располагались по центру и имели одинаковую форму по всей поверхности.
Например, симметрию можно использовать, чтобы убедиться, что канавка находится в центре средней плоскости блока защелки.
Вы можете использовать ось симметрии, чтобы убедиться, что канавка находится в нужном месте и имеет одинаковую форму по всей поверхности блока защелки.
Другое использование
| Используется в: | Описание: |
|---|---|
| Электроника | Ось симметрии используется, чтобы убедиться, что схема сбалансирована и работает стабильно. Например, ось симметрии можно использовать для обеспечения равномерного протекания тока через электронную цепь. |
| Физика | Ось симметрии используется, чтобы говорить о свойствах вещей, которые выглядят одинаково, когда их переворачивают. Например, ось симметрии используется для описания того, как движутся такие объекты, как планеты, звезды и галактики, когда они вращаются. |
| Математика | Ось симметрии используется для решения уравнений и описания свойств геометрических фигур. Например, ось симметрии используется для нахождения корней квадратных уравнений и описания свойств парабол, эллипсов и гипербол. |
| Биология | Ось симметрии используется для описания того, как живые существа одинаковы с обеих сторон. Например, многие животные, такие как бабочки и люди, обладают билатеральной симметрией, что означает, что у них есть единственная ось симметрии, которая делит их тело на две зеркальные половины. |
| Искусство | Ось симметрии используется в искусстве для создания сбалансированных и симметричных предметов. Например, ось симметрии используется во многих классических картинах и скульптурах, чтобы создать ощущение гармонии и равновесия. |
Заключение
В заключение, ось симметрии может показаться простой идеей, но она оказывает важное влияние на проектирование и дизайн, которое трудно предсказать.
Eсли вы знаете, как найти ось симметрии формы или функции, вы сможете найти новый взгляд на вещи и придумать новые идеи.
Но ось симметрии может быть даже более важной, потому что она напоминает нам о том, что симметрия и баланс являются важными составляющими всего в природе, от атомов до галактик.
Используя эти идеи в своей работе инженеров, мы можем создавать конструкции, которые будут более эффективными, долговечными и красивыми, как и сама Вселенная.
Итак, в следующий раз, когда вы будете работать над проектом, помните об оси симметрии и силе симметрии и баланса, чтобы сделать что-то действительно потрясающее.
Поделись…
