Bir mühendis veya mühendislik öğrencisiyseniz, optimize etmenin ne demek olduğunu biliyor olabilirsiniz.
Mümkün olan en iyi sonucu elde etmek için, işleri yapmanın en iyi yolunu bulmak önemlidir.
Doğrusal programlamada, en iyi çözümü bulmak için temel bir çözüm kullanabilirsiniz.
Ancak temel çözüm nedir ve mühendislerin bunları bilmesi neden bu kadar önemlidir? Bu yazıda temel çözümlerin neler olduğundan, mühendislikte neden önemli olduklarından ve farklı durumlarda en iyi sonuçları almak için nasıl kullanılabileceğinden bahsedeceğim.
Öyleyse kemerlerinizi bağlayın ve gizemleri çözeceğim ve size bu tekniğin ne kadar güçlü olabileceğini göstereceğim temel çözümler dünyasına dalmaya hazır olun.
Doğrusal Programlamada Temel Çözümler
Resmi tanımlama:
n değişkenli m denklemden oluşan bir doğrusal program modelinin çözümü, m değişkeni kalan (nm) değişkenler cinsinden çözerek ve (nm) değişkenleri sıfıra eşitleyerek elde edilir.
Doğrusal programlamada temel bir çözüm, belirli teknik gereksinimleri karşılayan bir doğrusal programlama problemini çözmenin bir yoludur.
Özellikle, {ai : xi = 0} vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa, bir x vektörü bir çokyüzlü için temel bir çözümdür.
Bu, A'nın sıfır olmayan xi değişkenlerine sahip sütunlarının doğrusal olarak bağımsız olduğu anlamına gelir.
Negatif olmayan bileşenlere sahip temel bir çözüm, temel uygun çözüm (BFS) (BFS) olarak adlandırılır.
Bir BFS, bir polihedron tanımlayan tüm kuralları karşılar.
Her bir BFS, geometrik bir bakış açısından uygulanabilir çözümlerin çokyüzlüsünün bir köşesidir.
Temel bir çözüm bulmak için, temel olmayan nm değişkenlerini sıfıra ayarlamalı ve temel olan m değişkenlerini çözmelisiniz.
Farklı temellerin aynı temel çözüme götürmesi mümkündür, bu da aynı sorunu çözmenin birden fazla yolu olabileceği anlamına gelir.
Simplex Yöntemi, en iyi BFS'yi bulana kadar bir BFS'den sonraki BFS'ye geçen yinelemeli bir süreçtir.
Bir BFS bulmak için simpleks yöntemini kullandıktan sonra, yakınlardaki diğer BFS'lerin amaç fonksiyonu için daha iyi bir değer verip vermediğini görerek çözümün en iyisi olup olmadığını anlayabiliriz.
Böyle bir BFS yoksa, mevcut BFS en iyisidir.
Doğrusal Programlama Modeli
Bir doğrusal programlama modeli üç ana bileşen içerir: karar değişkenleri, bir amaç fonksiyonu ve kısıtlamalar.
Hem amaç fonksiyonu hem de kısıtlamalar doğrusal fonksiyonlar olmalı ve karar değişkenleri sürekli olmalıdır.
Amaç fonksiyonu, karı, maliyeti, yapılan ürün sayısını vb. Temsil eden bir sayıyı artırmak veya azaltmak için kullanılır.
Kısıtlar, karar değişkenlerindeki başarı düzeyini belirleyecek görevleri yapmak için gerekli olan belirli bir kaynağın toplam miktarına getirilen sınırlar veya kısıtlamalardır.
Ek olarak, bazı doğrusal programlar, tüm karar değişkenlerinin negatif olmamasını gerektirir.
Doğrusal programlama modellerinde tamsayı ve ikili değişkenleri de kullanabilirsiniz.
İkili değişkenler yalnızca 0 veya 1 değerine sahip olabilir, dolayısıyla yalnızca 0 veya 1 değerine sahip olabilirler.
Simplex Yöntemi
Doğrusal programlama problemlerini çözmek için en çok kullanılan yollardan biri Simpleks Yöntemidir.
Simpleks yöntemde temel çözümler önemlidir, çünkü bunlar olurlu bölgenin köşe noktalarına karşılık gelir ve simpleks yöntemde optimal çözüm bulunana kadar bir köşeden diğerine hareket edilir.
Simpleks yöntemi, temel çözümlerin özelliklerini kullanarak bir doğrusal programlama problemine en iyi yanıtı bulmanın hızlı bir yoludur.
En iyi BFS'yi bulmak için simpleks yöntemini kullanmak için, kısıtlama matrisi A için bir B temeli bulmamız ve Ax = b sistemini, temel dışındaki tüm değişkenleri sıfıra ayarlayarak çözmemiz gerekir.
Temel değişkenler için elde edilen değerler bir BFS oluşturur.
Eğer optimal bir çözüm varsa, o zaman optimal bir BFS vardır.
Simplex Yöntemi, pivot prosedürlerini kullanarak optimum bir BFS'ye ulaşana kadar bir BFS'den bitişik bir BFS'ye hareket eder.
Temel Çözümler ile Uygulanabilir Çözümler Arasında Karşılaştırma
Temel çözüm ile uygulanabilir çözüm arasındaki fark, temel çözümün herhangi bir koşulu karşılaması gerekmemesidir.
Özellikle, doğrusal olarak bağımsız ve xi için sıfır olmayan değerlere sahip vektörlere sahip olmalı ve x, 0'dan küçük olmalıdır.
Öte yandan, uygulanabilir bir çözüm, problemin sınırları içinde kalan herhangi bir noktadır.
Ancak tüm uygulanabilir çözümler, temel uygulanabilir çözümler değildir.
Temel uygulanabilir çözümler (BFS'ler), yalnızca uygun çözümler polihedronunun köşeleriyle eşleşenlerdir.
Temel Bilgilere Dön: Mühendislikte Temel Çözümlerin Gücünü Ortaya Çıkarma
Hala anlamak zor mu? Biraz bakış açısını değiştirelim:
Zor sorunları çözmek için karmaşık yöntemler ve algoritmalar kullanmaktan bıktınız mı? Doğrusal program modeli problemlerinizle başa çıkmanın daha basit, daha doğrudan bir yolu olmasını ister miydiniz?
Pekala, merak etmeyin, çünkü cevap burada: kalan (nm) değişkenler cinsinden m değişkenleri çözün ve (nm) değişkenleri sıfıra ayarlayın.
Temellere geri dönebileceğiniz zaman kulağa hoş gelen algoritmalara kim ihtiyaç duyar? O yüzden hesap makinelerinizi kaldırın ve basit çözümleri öğrenmeye başlayalım.
Tamam, bu sadece bir TV reklamı gibi görünmek için yapılmış bir şakaydı.
Şimdi açıklamaya geri dönelim.
Temel Çözüm Doğrusal Programlama
İpucu: Gerekirse altyazı düğmesini açın. Konuşulan dile aşina değilseniz, ayarlar düğmesinde "otomatik çeviri"yi seçin. En sevdiğiniz dil çeviri için uygun hale gelmeden önce videonun diline tıklamanız gerekebilir.
Kullanım örnekleri
| Kullanılan: | Tanım: |
|---|---|
| Kaynakların tahsisi: | Temel çözüm, amacın sınırlı kaynakları rekabet eden ihtiyaçlar arasında bölmek olduğu kaynak tahsisi problemlerinde kullanılabilir. Örneğin, bir şirketin bütçesini farklı departmanlar veya projeler arasında bölmesi gerekebilir. Temel çözümleri kullanarak, kaynaklarını en çok para kazanmak veya mümkün olduğunca az harcamak için kullanmanın en iyi yolunu bulabilirler. |
| Üretim Planlaması: | Üretim planlamasında, en fazla parayı kazanmak için yapılacak en iyi ürün karışımını bulmak için temel çözüm kullanılabilir. Şirketler, temel çözümü kullanarak en fazla parayı getiren ve en az maliyetli olan en iyi üretim karışımını bulabilir. |
| planlama: | Temel çözüm, görevlerin veya işlerin en verimli şekilde yapılabilmeleri için nasıl programlanacağını bulmak için kullanılabilir. Örneğin, bir şirket, iş yoğun olduğunda yeterli çalışana sahip olduklarından emin olmak için çalışanlarının çalışma saatlerini planlamaya ihtiyaç duyabilir. Temel bir çözüm kullanarak, işleri mümkün olduğunca az kesinti olacak ve mümkün olduğunca çok iş yapılacak şekilde planlamanın en iyi yolunu bulabilirler. |
| Tedarik Zincirinin Yönetimi: | Tedarik zinciri yönetiminde amaç, mal ve hizmetlerin tedarikçiden müşteriye mümkün olduğunca sorunsuz hareket etmesini sağlamaktır. Örneğin, maliyetlerin minimumda tutulması ve malların zamanında teslim edilmesi için bir işletmenin malları taşımak için en iyi rotaları bulması gerekebilir. Temel çözümleri kullanarak, tedarik zincirini yönetmek için maliyetleri düşük tutan ve müşterileri mutlu eden en iyi planı bulabilirler. |
| Portföy Optimizasyonu: | Hedefin en az risk alırken en çok parayı kazanmak için en iyi yatırım karışımını bulmak olduğu portföy optimizasyonunda temel çözümler kullanılabilir. Örneğin, bir yatırım firmasının, müşterilerinin yatırım hedeflerine ulaşmalarına yardımcı olmak için hisse senetleri, tahviller ve diğer menkul kıymetlerin en iyi karışımını bulması gerekebilir. Basit bir çözüm kullanarak, portföylerini en az risk alarak en iyi getiriyi elde edecek şekilde karıştırmanın en iyi yolunu bulabilirler. |
Çözüm
Sonuç olarak, mühendislik alanında temel bir çözüm fikri çok önemlidir ve birçok farklı şekilde kullanılabilir.
Temel çözümün ne olduğunu ve doğrusal programlamada ne işe yaradığını bilerek çözümleri iyileştirebilir, maliyetleri azaltabilir ve onları daha verimli hale getirebiliriz.
Ancak, güçlü bir araç olmasına rağmen, temel çözümün herkese uyan tek bir çözüm olmadığını unutmamak önemlidir.
En iyi sonuçları elde etmek için, her sorunun dikkatlice incelenmesi ve üzerinde düşünülmesi gerekir.
Mühendisler olarak, temel çözümlerin ve diğer optimizasyon tekniklerinin ilerleme kaydetmemize ve yeni fikirler bulmamıza nasıl yardımcı olabileceğini araştırmaya devam etmeliyiz.
Öyleyse, basit çözümlerin gücünü tanıyalım ve yeni teknikler ve stratejiler kullanarak mümkün olanın sınırlarını zorlamaya devam edelim.
Bağlantılar ve referanslar
Kitabın:
- Doğrusal Programlama, Vasek Chvatal
- Jose M. Sallan tarafından R ile Doğrusal Programlamayı Modelleme ve Çözme
Paylaş…
