Bir mühendislik öğrencisi veya mühendisseniz, mümkün olan en iyi sonucu elde etmek için bir sistemi optimize etmenin ne demek olduğunu bilirsiniz.
Bir çözümü optimize etmek, köprüler kurmaktan yazılım yapmaya kadar her şeyde başarının anahtarıdır.
Temel uygulanabilir çözüm fikri bu noktada devreye girer.
Doğrusal programlamada olası çözümlerden hangisinin en iyi olduğunu bulmanızı sağlayan temel bir fikirdir.
Ama neden bu kadar önemli? Bu yazıda, temel uygulanabilir çözümlerden ve bunların gerçek dünyadaki mühendislik problemlerini çözmek için nasıl kullanılabileceğinden bahsedeceğim.
Onları nasıl bulacağımızdan, nelerden yapıldıklarından ve neden önemli olduklarından bahsedeceğim.
Bu nedenle, ister deneyimli bir mühendis olun, ister yeni başlayan bir öğrenci olun, ben temel uygulanabilir çözümler dünyasına dalarken ve size doğrusal programlamanın gücünü nasıl kullanacağınızı gösterirken bizimle gelin.
Temel Uygulanabilir Çözümü Anlamak
Resmi tanımlama:
Tüm değişkenlerin negatif olmadığı doğrusal program modeline temel bir çözüm.
Temel uygulanabilir çözüm (BFS), doğrusal programlamada en iyi çözümleri bulmaya yardımcı olan önemli bir fikirdir.
Bir BFS, mümkün olan en az sayıda sıfır olmayan değişkene sahip bir çözümdür.
Uygulanabilir çözümler polihedronunun bir köşesidir.
Başka bir deyişle, bir BFS, negatif olmayan kısıtlamaları karşılayan ve uygulanabilir bölge veya problem alanında bulunan temel bir çözümdür.
Optimal Temel Uygulanabilir Bir Çözüm Bulma
En iyi BFS'yi bulmak için aşağıdakileri yapmamız gerekir:
- Programı doğrusal bir dizi için standart biçimde yazın.
- Eşitsizlik sistemini artırılmış bir matrise dönüştürün.
- Hangi değişkenlerin temel olup hangilerinin olmadığını belirleyin.
- Diğer değişkenler açısından temel değişkenlerin ne olduğunu bulun.
- Yalnızca temel olmayan değişkenlerin bir işlevini elde etmek için bu ifadeleri amaç işlevine koyun.
- Herhangi bir kısıtlamayı bozmadan artırılabilen ve amaç fonksiyonunu daha iyi hale getirecek temel olmayan bir değişken bulun.
Bu değişken artık bir temel değişkendir ve diğer temel değişkenlerden biri artık bir temel değişken değildir.
Optimal bir çözüm varsa, bu, çözümlerin mümkün olduğu bölgenin uçlarından veya köşelerinden birinde olmalıdır.
Dolayısıyla, bir DP'nin optimal bir çözümü varsa, olurlu kümenin en uç noktasında bir optimal çözümü vardır.
Ayrıca, eğer optimal bir çözüm varsa her zaman optimal bir BFS vardır.
Optimal Bir BFS Bulmak İçin Simplex Yöntemini Kullanma
Simplex Yöntemi, doğrusal programlamadaki problemleri çözmek için bir algoritmadır.
Pivot prosedürünü kullanarak bir BFS'den "bitişik" bir BFS'ye geçer.
Pivot prosedüründe, temel olmayan bir değişken temel değişken olmak için seçilir ve ardından mevcut BFS, yeni temel değişkenleri çözmek için kullanılır.
Amaç işlevini daha iyi hale getirmek için temel olmayan hiçbir değişken değiştirilemediğinde, algoritma yapılır.
Karmaşık Mühendislik Problemlerini Çözmek İçin Temel Uygulanabilir Çözümler Neden Önemlidir?
Hala anlamak zor mu? Biraz bakış açısını değiştirelim:
Zaten kimin basit, uygulanabilir cevaplara ihtiyacı var ki? Her şeyi bir araya getirin ve en iyisini umun.
Sonuçta, kaos çok daha eğlenceliyken optimizasyona kimin ihtiyacı var? Her şeyin sadece bir öneri olduğu ve başarısızlığın neredeyse kesin olduğu, negatif olmayan değişkenlerin dünyasına hoş geldiniz.
Yoksa öyle mi?
Görünüşte basit olan temel uygulanabilir çözümler kavramının neden temel olmaktan uzak olduğunu ve neden en karmaşık mühendislik problemlerini çözmenin anahtarı olabileceğini keşfedelim.
Tamam, bu sadece bir TV reklamı gibi görünmek için yapılmış bir şakaydı.
Şimdi açıklamaya geri dönelim.
Temel Uygulanabilir Çözüm Bulma
Temel uygulanabilir çözüm (BFS), tüm kısıtlamaları karşılayan ve en az sayıda sıfır olmayan değişkene sahip olan bir doğrusal optimizasyon probleminin çözümüdür.
Her bir BFS, geometrik bir bakış açısından uygulanabilir çözümlerin çokyüzlüsünün bir köşesidir.
En iyi çözüm varsa, en iyi ilk adım da olmalıdır.
Bu yazıda, bir başlangıç temel uygun çözümün nasıl bulunacağı, tüm temel uygun çözümlerin nasıl bulunacağı ve gevşek değişkenler olmadan temel bir uygun çözümün nasıl bulunacağı hakkında konuşacağız.
İlk Temel Uygulanabilir Çözümü Bulma
Doğrusal bir optimizasyon problemi için işe yarayan bir başlangıç temel çözümü bulmak için problemin nasıl kurulduğuna bağlı olarak farklı yöntemler kullanabiliriz.
Bunun bir yolu, eşitsizlikler üzerindeki kısıtlamalara gevşek değişkenler eklemek ve diğer tüm değişkenleri sıfıra ayarlamaktır.
Gevşek değişkenler temel değişkenler haline gelir ve geri kalanlar temel olmayan değişkenlerdir.
İki aşamalı Simplex Yöntemi, sorunu çözmenin başka bir yoludur.
Bu yöntem, mümkün olan bir ilk temel çözümü bulmak için ekstra bir doğrusal programlama problemini çözmeyi içerir.
İlk uygun bir temel çözüm bulunduğunda, bir temel uygun çözümden diğerine ve ardından en iyi çözüme geçmek için Simpleks Yöntemi kullanılabilir.
Tüm Temel Uygulanabilir Çözümleri Bulmak
Doğrusal bir program için çalışan birden fazla temel çözüm olabilir.
Slack değişkenleri ekleyerek sistemi değiştirebilir ve ardından yeni sistemi doğrusal bir program için tüm temel uygun çözümleri bulmak için kullanabiliriz.
Daha sonra, bu temel uygun çözümler, orijinal problem için temel uygun çözümleri bulmak için kullanılır.
Gevşek Değişkenler Olmadan Temel Uygulanabilir Çözüm Bulma
Slack değişkenleri olmadan çalışan temel bir çözüm bulabilmek için, küçüktür kısıtlamalarından kurtulmak için gevşek değişkenler kullanmamız gerekir.
Slack değişkeni, kısıtlamanın sağ tarafı ile sol tarafı arasındaki farktır.
Örneğin, ilk kısıtlama için, gevşek bir değişken x4 = 14 - 2x1 - x2 - x3 tanımlarız. Bu yeni değişken açısından, ilk kısıtlama basitçe x4 ≥ 0'a eşdeğerdir, bu x4 için bir pozitiflik kısıtlamasıdır.
Bu gevşek değişkenleri eklediğimizde, tüm kısıtlamaların bir şeyin pozitif olduğunu söyleyen denklemler veya kısıtlamalar olması dışında, orijinal programla aynı olan bir doğrusal program elde ederiz.
Temel çözümde sıfırdan farklı değerlere sahip olan temel değişkenler kümesine temel denir.
Temel çözümde sıfır değerine sahip değişkenler temel değişken değildir.
En iyi çözümü bulmak için, tüm kuralları karşılayan ve amaç için en büyük veya en küçük değeri alan bir x vektörü bulmamız gerekir.
Ancak en iyi çözümü bulmak, yalnızca işe yarayan ve gevşek değişkenleri olmayan bir çözüm bulmaktan daha fazla adım gerektirir.
Gevşek değişken içermeyen temel bir çözüm bulmak her zaman mümkün değildir, özellikle de daha az kısıtlamalı problemler için.
Temel uygulanabilir bir çözüm bulmak için, tüm kısıtlamaları karşılayan ve sıfır olmayan en az değişkene sahip bir çözüm aramak için tek yönlü yöntemi veya başka bir doğrusal programlama algoritmasını kullanmanız gerekir.
Temel Uygulanabilir Çözümün Özellikleri ve Önemi
Temel Uygulanabilir Çözümün Özellikleri
Temel bir uygulanabilir çözüm, sıfır olmayan en fazla m değişkene ve en az sıfır olan nm değişkene sahiptir; burada n, karar değişkenlerinin sayısı ve m, kısıtlamaların sayısıdır.
Bir BFS, olası çözümler polihedronunun bir köşesidir ve her BFS'nin doğrusal olarak bağımsız olan n aktif kısıtlaması vardır.
En iyi çözüm varsa, en iyi ilk adım da olmalıdır.
Temel uygulanabilir çözümlerle ilgili en önemli şey, bunların bir doğrusal programlama problemi için dışbükey çözümler kümesinin uçları olmalarıdır.
En iyi yanıtı bulmak için, tek yönlü algoritma bir dizi BFS'den geçer.
Simplex Algoritması, en iyisini bulmak için tüm temel olası çözümleri organize bir şekilde araştırır.
Temel Uygulanabilir Çözümün Önemi
Mümkün olan temel bir çözümü bulmak önemlidir çünkü doğrusal programlama problemlerine en iyi yanıtı bulmaya yardımcı olur.
Ayrıca, karmaşık algoritmalara başlamak için bir yer sağlar ve doğrusal bir programın mümkün olup olmadığını anlamak için kullanılabilir.
Doğrusal bir program için tüm temel uygulanabilir çözümleri bulmak için, gevşek değişkenler ekleyerek sistemi değiştirebilir ve ardından tüm temel uygun çözümleri bulmak için değiştirilen sistemi kullanabilirsiniz.
Daha sonra, bu temel uygun çözümler, orijinal problem için temel uygun çözümleri bulmak için kullanılır.
Video: Temel Uygulanabilir Çözümler
İpucu: Gerekirse altyazı düğmesini açın. Konuşulan dile aşina değilseniz, ayarlar düğmesinde "otomatik çeviri"yi seçin. En sevdiğiniz dil çeviri için uygun hale gelmeden önce videonun diline tıklamanız gerekebilir.
Kullanım örnekleri
| Kullanılan: | Tanım: |
|---|---|
| Kaynakların tahsisi: | BFS, sınırlı kaynakları birkaç proje arasında bölmek için kullanılabilir, böylece en az ile en çok şey yapılabilir. Bu yöntem ulaşım, çiftçilik ve finans gibi birçok farklı alanda kullanılabilir. |
| Ağın Optimizasyonu: | BFS, iletişim, ulaşım ve lojistik ağlarının daha iyi çalışmasını sağlamak için kullanılabilir. BFS, mallar ve hizmetler için en iyi rotaların bulunmasına, nakliye için harcanan zaman ve paranın azaltılmasına ve teslimatların hızlandırılmasına ve daha doğru yapılmasına yardımcı olabilir. |
| Üretim Planlaması: | BFS, işgücü, hammadde ve ekipman gibi kaynakların bunlardan en iyi şekilde yararlanmak için mümkün olan en iyi şekilde kullanılması için üretimi planlamak için kullanılabilir. BFS, üretim maliyetlerini düşürmeye, atıkları azaltmaya ve verimliliği artırmaya yardımcı olabilir. |
| Finansal planlama: | Finansal planlamada BFS, yatırım portföylerini optimize etmek, riski azaltmak ve en fazla parayı geri almak için kullanılabilir. BFS, varlıkları bölmenin, işlem maliyetlerini düşürmenin ve daha fazla para kazanmanın en iyi yolunu bulmanıza yardımcı olabilir. |
| Tedarik Zincirinin Yönetimi: | BFS, tedarik zinciri yönetiminin bir parçası olarak tedarikçilerden müşterilere mal ve hizmet akışını iyileştirmek için kullanılabilir. BFS, elde tutulacak en iyi stok miktarını belirlemeye, teslim sürelerini kısaltmaya ve müşteri hizmetlerini iyileştirmeye yardımcı olabilir. |
Çözüm
Temel uygulanabilir çözümlere bu bakış sona ererken, bunların herhangi bir mühendis veya mühendislik öğrencisi için önemli bir araç olduğu açıktır.
Karmaşık bir sistem kurmanın en iyi yolunu bulmaktan mevcut kaynaklardan en iyi şekilde yararlanmaya kadar, temel uygun çözümler mümkün olan en iyi sonucu elde etmek için bir çerçeve sağlar.
Ancak yararlı olmanın ötesinde, matematiğin ne kadar zarif ve güzel olabileceğini gösterirler.
Karmaşık problemleri basit bir denklem setine indirgeyebilmeniz ve ardından bu denklemleri gerçek dünyadaki problemleri çözmek için kullanabilmeniz şaşırtıcı.
Mühendisliğin tamamen problem çözmekle ilgili olduğunu ve matematiğin gücünü kullanarak bir zamanlar imkansız olduğu düşünülen cevapları bulabileceğimizi hatırlatmak isteriz.
Bu nedenle, mühendislik hakkında daha fazla şey öğrenirken, işe yarayan basit çözümler hakkında öğrendiklerinizi aklınızda tutun ve bunları dünyayı daha iyi, daha verimli bir yer haline getirmek için kullanın.
Bağlantılar ve referanslar
Kitabın:
- Doğrusal Programlama: Temeller ve Uzantılar
- Doğrusal Programlama: Teori ve Uygulamalar
Paylaş…
