如果您是工程師或工程專業的學生，您可能知道優化意味著什麼。
為了獲得最好的結果，找到最好的做事方式很重要。
在線性規劃中，您可以使用基本解決方案來找到最佳解決方案。
但什麼是基本解決方案，為什麼工程師了解它們如此重要？在本文中，我將討論什麼是基本解決方案，為什麼它們在工程中很重要，以及如何使用它們在不同情況下獲得最佳結果。
因此，係好安全帶，準備好進入基本解決方案的世界，我將在其中揭開謎團，向您展示這項技術的強大之處。
線性規劃的基本解決方案
正式定義：
由 n 個變量中的 m 個方程組成的線性規劃模型的解是通過根據剩餘 (nm) 個變量求解 m 個變量並將 (nm) 個變量設置為零來獲得的。
線性規劃中的基本解決方案是解決滿足一定技術要求的線性規劃問題的方法。
特別地，如果向量 {ai : xi = 0} 是線性獨立的，則向量 x 是多面體的基本解。
這意味著 A 中具有不為零的變量 xi 的列是線性獨立的。
具有非負分量的基本解稱為基本可行解 (BFS) (BFS)。
BFS 滿足定義多面體的所有規則。
從幾何角度看，每個 BFS 都是可行解多面體的一個角。
要找到一個基本的解決方案，您必須將 nm 個非基本的變量設置為零，並解決 m 個基本的變量。
不同的基礎可能導致相同的基本解決方案，這意味著解決同一問題的方法可能不止一種。
單純形法是一個迭代過程，從一個 BFS 移動到下一個 BFS，直到找到最佳 BFS。
在使用單純形法找到 BFS 後，我們可以通過查看附近是否有任何其他 BFS 為目標函數提供更好的值來判斷該解決方案是否是最佳解決方案。
如果沒有這樣的BFS，那麼現在的BFS是最好的。
線性規劃模型
線性規劃模型涉及三個主要組成部分：決策變量、目標函數和約束。
目標函數和約束條件都必須是線性函數，決策變量必須是連續的。
目標函數用於增加或減少代表利潤、成本、產品數量等的數字。
約束是對執行任務所需的特定資源總量的限製或限制，這些任務將決定決策變量的成功程度。
此外，一些線性規劃要求所有決策變量都是非負的。
在線性規劃模型中，您還可以使用整數和二進制變量。
二元變量只能有0或1的值，所以只能有0或1的值。
單純形法
解決線性規劃問題最常用的方法之一是單純形法。
基本解在單純形法中很重要，因為它們對應於可行域的角點，單純形法從一個角移動到另一個角，直到找到最優解。
單純形法是一種通過使用基本解的屬性來快速找到線性規劃問題最佳答案的方法。
要使用單純形法找到最佳 BFS，我們需要為約束矩陣 A 找到一個基 B，並在除基之外的所有變量都設置為零的情況下求解系統 Ax = b。
基本變量的結果值形成 BFS。
如果存在最優解，則存在最優 BFS。
單純形法從一個 BFS 移動到相鄰的 BFS，直到它通過使用樞軸過程達到最佳 BFS。
基本解與可行解的比較
基本解和可行解的區別在於基本解不必滿足任何條件。
特別是，它必須具有線性獨立的向量並且 xi 具有非零值，並且 x 必須小於 0。
另一方面，可行的解決方案是適合問題限制的任何點。
但並非所有可行解都是基本可行解。
基本可行解 (BFS) 只是那些與可行解多面體的角相匹配的解。
回歸基礎：釋放工程基礎解決方案的力量
還是很難理解？讓我稍微改變一下觀點：
您是否厭倦了使用複雜的方法和算法來解決難題？您是否希望有一種更簡單、更直接的方法來處理您的線性規劃模型問題？
好吧，別擔心，因為答案就在這裡：根據剩餘的 (nm) 個變量求解 m 個變量，並將 (nm) 個變量設置為零。
當您可以回歸基礎時，誰還需要聽起來很花哨的算法？所以收起你的計算器，讓我們開始學習簡單的解決方案。
好吧，那隻是一個看起來像電視廣告的笑話。
現在讓我們回到解釋。
基本解線性規劃
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用例
| 用於： | 描述： |
|---|---|
| 資源分配： | 基本解決方案可用於資源分配問題，其目標是在相互競爭的需求之間分配有限的資源。例如，公司可能需要在不同部門或項目之間分配預算。通過使用基本解決方案，他們可以找到利用資源的最佳方式來賺取最多的錢或盡可能少地花錢。 |
| 生產計劃： | 在生產計劃中，基本解決方案可用於找出最佳的產品組合，以賺取最多的利潤。通過使用基本解決方案，公司可以找到帶來最多資金和最低成本的最佳生產組合。 |
| 調度： | 基本解決方案可用於確定如何安排任務或作業，以便以最有效的方式完成它們。例如，公司可能需要計劃其員工的工作時間，以確保在業務繁忙時他們有足夠的員工。通過使用基本解決方案，他們可以找到安排事情的最佳方式，從而盡可能減少停機時間並完成盡可能多的工作。 |
| 供應鏈管理： | 在供應鏈管理中，目標是確保商品和服務盡可能順利地從供應商轉移到客戶。例如，企業可能需要找出運輸貨物的最佳路線，以便將成本保持在最低水平並按時交付貨物。通過使用基本解決方案，他們可以找到管理供應鏈的最佳計劃，從而保持低成本並讓客戶滿意。 |
| 投資組合優化： | 在投資組合優化中，目標是找到最佳投資組合以賺取最多的收益，同時承擔最少的風險，可以使用基本解決方案。例如，一家投資公司可能需要找出股票、債券和其他證券的最佳組合，以幫助其客戶實現投資目標。通過使用簡單的解決方案，他們可以找到混合投資組合的最佳方式，從而在承擔最少風險的同時獲得最佳回報。 |
結論
總之，基本解決方案的思想在工程領域非常重要，可以以多種不同的方式使用。
通過了解什麼是基本解決方案及其在線性規劃中的作用，我們可以改進解決方案、降低成本並提高效率。
但重要的是要記住，基本解決方案不是萬能的解決方案，即使它是一個強大的工具。
為了得到最好的結果，每一個問題都需要仔細的審視和思考。
作為工程師，我們需要不斷研究基本解決方案和其他優化技術如何幫助我們取得進步並提出新想法。
因此，讓我們認識到簡單解決方案的力量，並通過使用新技術和策略不斷突破可能的極限。
鏈接和參考
圖書：
- Vasek Chvatal 的線性規劃
- Jose M. Sallan 用 R 建模和求解線性規劃
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